[中学联盟]湖北省荆州市沙市第五中学人教版高中数学选修1-1 3-3用导数研究函数的最值 检测题

3.3 用导数研究函数的最值 一、填空题 1.函数f(x)=x3-3x+1在[-3,0]上的最大值,最小值分别为_. 解析 f′(x)=3x2-3,令f′(x)=0,解得x=-1或x=1,f(-3)=-17,f(-1)=3,f(1)=-1,f(0)=1.比较可得f(x)max=f(-1)=3, f(x)min=f(-3)=-17. 答案 3,-17 2.已知a≤恒成立,则a的最大值为_. +lnx对于x∈ 解析 设f(x)=上单调递减;当x∈(1,2]时,f′(x)>0,故函数f(x)在(1,2]上单调递增,时,f′(x)<0,故函数f(x)在,当x∈=++lnx,则f′(x)= ∴f(x)min=f(1)=0,∴a≤0,即a的最大值为0. 答案 0 3.函数f(x)=-x3+x在(a,10-a2)上有最大值,则实数a的取值范围是_. 解析 由f′(x)=-x2+1,易知f(x)在(-∞,-1)上递减,在(-1,1)上递增,在(1,+∞)上递减.故函数在(a,10-a2)上存在最大值的条件为 答案 [-2,1) 4.若函数f(x)=,则a的值为_. (a>0)在[1,+∞)上的最大值为 答案 -1 5.设函数f(x)=x3-2x+5,若对任意x∈[-1,2],都有f(x)>m,则实数m的取值范围是_. 解析 f′(x)=3x2-x-2=0,解得x=1或-, f(-1)=,f(2)=7. ,f(1)==,f ∴m<. 答案 m< 6.已知函数f(x)=x-sin x,若x1,x2∈且x1<x2,则f(x1),f(x2)的大小关系是_. 解析 f′(x)=1-cos x≥0,所以f(x)在上单调递增, 所以f(x1)<f(x2). 答案 f(x1)<f(x2) 7.若函数在f(x)=-x3+x在(a,10-a2)上有最大值,则实数a的取值范围为_. 解析 ∵f(x)=-x3+x(x∈R),则f′(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1), ∴f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递减,在(-1,1)单调递增,由题意知,当x=1时,f(x)取得最大值,1∈(a,10-a2).即∴-3<a<1. 答案 (-3,1) 8.曲线f(x)=ax2+bx+c(a>0,b,c∈R)通过点P(0,2a2+8),在点Q(-1,f(-1))处的切线垂直于y轴,则的最小值为_. 解析