7.2.3 三角函数的诱导公式 （共2课时）课件-2023-2024学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

高中数学苏教版必修第一册 第7章 三角函数 7.2 三角函数的概念 7.2.3 三角函数的诱导公式 第1课时　诱导公式一、二、三、四 课标阐释 思维脉络 1.借助单位圆的对称性,利用定义推导出诱导公式(α±π的正弦、余弦、正切),并熟练掌握.(数学抽象) 2.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.(数学运算、逻辑推理) 情境导入 南京眼和辽宁的生命之环均利用完美的对称展现自己的和谐之美.而三角函数与(单位)圆是紧密联系的,它的基本性质是圆的几何性质的代数表示,例如,同角三角函数的基本关系表明了圆中的某些线段之间的关系.圆有很好的对称性:以圆心为对称中心的中心对称图形;以任意直径所在直线为对称轴的轴对称图形. 你能利用这种对称性并借助单位圆, 讨论任意角α的终边与π±α,-α的对称 关系吗?sin(π+α)、sin(π-α)、sin(-α)与 sin α又有怎样的关系呢? 知识点拨 诱导公式一、二、三、四 1.诱导公式一 终边相同的角的同一三角函数值相等. sin(α+2kπ)= sin α (k∈Z),cos(α+2kπ)= cos α (k∈Z),tan(α+2kπ)= tan α (k∈Z). 2.诱导公式二 终边关系 图示 角-α与角α的终边关于x轴对称 公式 sin(-α)= -sin α ,cos(-α)= cos α ,tan(-α)= -tan α 微思考 诱导公式一~四各自的作用是什么? 提示 诱导公式 作用 公式一 将角转化为0~2π求值 公式二 将0~2π内的角转化为0~π之间的角求值 公式三 将负角转化为正角求值 公式四 将角转化为0~求值 微判断 (1)诱导公式中角α是任意角.(　　) (3)sin(180°-200°)=-sin 200°.(　　) (4)若α,β满足α+β=π,则sin α=sin β.(　　) 答案 (1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 3.诱导公式三 终边关系 图示 角π-α与角α的终边关于y轴对称 公式 sin(π-α)= sin α ,cos(π-α)= -cos α ,tan(π-α)= -tan α 4.诱导公式四 终边关系 图示 角π+α与角α的终边关于原点对称 公式 sin(π+α)= -sin α ,cos(π+α)= -cos α ,tan(π+α)= tan α 微练习 1 微练习 2 微技巧 “函数名不变,符号看象限”. “函数名不变”是指等式两边的三角函数同名; “符号看象限”是指把原角看成锐角时新角在原函数下的符号,由新角所在象限确定符号.如sin(π+α),若把α看成锐角,则π+α在第三象限,所以取负值,故sin(π+α)=-sin α. 探究一 利用诱导公式求三角函数值 例1(1)sin 750°=　　　,cos(-2 040°)=　　　　;  反思感悟利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 (1)“负化正”:用公式一或三来转化. (2)“大化小”:用公式一将角化为0°到360°间的角. (3)“小化锐”:用公式二或四将大于90°的角转化为锐角. (4)“锐求值”:得到锐角的三角函数后求值. 变式训练1求下列各三角函数式的值: (1)sin 1 320°; (3)tan(-945°). (3)tan(-945°)=-tan 945° =-tan(225°+2×360°) =-tan 225°=-tan(180°+45°) =-tan 45°=-1. 探究二 利用诱导公式化简求值问题 例2化简下列各式: 反思感悟三角函数式化简的常用方法 (1)合理转化:①将角化成2kπ±α,π±α,k∈Z的形式. ②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数. (2)切化弦:一般需将表达式中的切函数转化为弦函数. 变式训练2化简下列各式: (2)sin(π+α)cos(-α)+sin(2π-α)cos(π-α)+sin αcos(π+α)tan(-π-α). 探究三 给值(或式)求值问题 延伸探究将本例3题中的“-”改为“+”,“+”改为“-”,其他不变,应如何解答? 要点笔记解决给值求值问题的策略 (1)解决给值求值问题,首先要仔细观察条件式与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系. (2)可以将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转化. 素养形成 思想方法——分类讨论思想在诱导公式中的应用 分析因为n∈Z,所以n可能为偶数,也可能为奇数,两种情况下诱导公式所得结果不同,所以需要分类讨论. 当堂检测 1.计算cos(-600°)=(　　) 答案 D 解析 cos(-600°)=cos 600°=cos(360°+24