5.3 函数的单调性 （共2课时）课件-2023-2024学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

高中数学苏教版必修第一册 第5章 函数的概念与性质 5.3 函数的单调性 第1课时　函数的单调性 课标阐释 思维脉络 1.理解函数的单调性及其几何意义,能运用函数图象理解和研究函数的单调性.(直观想象) 2.会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性.(逻辑推理) 3.会求一些具体函数的单调区间.(数学运算) 情境导入 德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯,对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试,得到了以下一些数据: 时间间隔t 刚记忆完毕 20分钟后 60分钟后 8~9小时后 1天后 2天后 6天后 一个月后 记忆量y (百分比) 100 58.2 44.2 35.8 33.7 27.8 25.4 21.1 以上数据表明,记忆量y是时间间隔t的函数,艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”,如图. 当时间间隔t逐渐增大时,你能看出对应的函数值y有什么变化趋势吗?通过这个试验,你打算以后如何对待刚学过的知识? 知识点拨 一、增函数与减函数 条件 设函数y=f(x)的定义域为A,区间I⊆A. 如果对于区间I内的任意两个值x1,x2,当x1<x2时都有 f(x1)<f(x2) f(x1)>f(x2) 结论 那么称y=f(x)在区间I上是增函数,I称为y=f(x)的增区间 那么称y=f(x)在区间I上是减函数,I称为y=f(x)的减区间 图示 名师点析 增(减)函数定义中的x1,x2的特征 (1)任意性,即“任意两个值x1,x2”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般; (2)有大小,通常规定x1<x2; (3)属于同一个单调区间. 这三个条件缺一不可. 微练习 1 下列函数在区间(0,+∞)上是减函数的是(　　) A.y=-　　　　B.y=x C.y=x2 D.y=1-x 答案 D 解析 函数y=1-x在区间(0,+∞)上是减函数,其余函数在(0,+∞)上均为增函数,故选D. 微练习 2 已知函数f(x)是定义在R上的增函数,则f(x)=0的根(　　) A.有且只有一个 B.有两个 C.至多一个 D.以上均不对 答案 D 解析 因为f(x)在R上是增函数,所以对任意x1,x2∈R,若x1<x2,则f(x1)<f(x2),反之也成立.故若存在f(x0)=0,则x0只有一个.若对任意x∈R都无f(x)=0,则f(x)=0无根. 二、函数的单调性与单调区间 如果函数y=f(x)在区间I上是增函数或减函数,那么称函数y=f(x)在区间I上具有单调性,增区间和减区间统称为单调区间. 名师点析 1.区间I必为函数定义域A的子集,即I⊆A,所以单调性是函数定义域内的局部性质. 2.函数的单调区间可以是整个定义域,也可以是定义域的真子集.如y=x在整个定义域(-∞,+∞)上是增函数,y=-x在整个定义域(-∞,+∞)上是减函数,但y=x2在定义域(-∞,+∞)上不具有单调性,其在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数. 3.一个函数出现两个或两个以上单调区间时,单调区间用“,”隔开,或者用“和”连接,不能用“并”或“且”连接. 微思考 函数y= 在定义域上是减函数吗? 提示 不是.y= 在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上也是减函数,但不能说y=在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数. 微练习 函数y=f(x)的图象如图所示,其减区间是(　　) A.[-4,4]　 B.[-4,-3]和[1,4] C.[-3,1] D.[-3,4] 答案 B 解析 由图可知,函数y=f(x)的减区间为[-4,-3]和[1,4].故选B. 探究一 函数单调性的判断与证明 例1证明函数f(x)=x+ 在(0,1)上是减函数. 证明 设x1,x2是区间(0,1)上的任意两个实数,且x1<x2, ∵0<x1<x2<1, ∴x1x2>0,x1x2-1<0,x1-x2<0, ∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2). ∴f(x)=x+ 在(0,1)上是减函数. 反思感悟利用定义证明函数单调性的步骤 (1)取值:设x1,x2是该区间内的任意两个值,且x1<x2. (2)作差变形:作差f(x1)-f(x2),并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段,转化为易判断正负的式子. (3)定号:确定f(x1)-f(x2)的符号. (4)结论:根据f(x1)-f(x2)的符号及定义判断单调性. 变式训练1试用函数单调性的定义证明f(x)= 在(1,+∞)上是减函数. 因为1<x1<x2, 所以x2-x1>0,x1-1>0,x2-1>0, 所以f(x1)>f(x2), 所以f(x)在(1,+∞)上是