精品解析：江苏省南京市金陵中学2024届高三寒假检测数学试题

南京市金陵中学2024届寒假检测 数学 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3．非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某篮球兴趣小组7名学生参加投篮比赛，每人投10个，投中的个数分别为8，5，7，5，8，6，8，则这组数据的众数和中位数分别为（ ）． A. 5，7 B. 6，7 C. 8，5 D. 8，7 2. 二次函数的图像为抛物线，其准线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 设等差数列的前项和，若，，则（ ） A. 18 B. 27 C. 45 D. 63 4. 某单位计划从5人中选4人值班，每人值班一天，其中第一、二天各安排一人，第三天安排两人，则安排方法数为（ ） A. 30 B. 60 C. 120 D. 180 5. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．如图，，为椭圆：的左、右焦点，中心为原点，椭圆的面积为，直线上一点满足是等腰三角形，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 在等边中，已知点，满足，，与交于点，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 函数，若，则最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 1 8. 正三棱柱中，，，O为的中点，M为棱上的动点，N为棱上的动点，且，则线段长度的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9. 已知复数满足，则（ ） A. 的实部为 B. 的虚部为 C. 满足：的复数对应的点所在区域的面积为 D. 对应的向量与轴正方向所在向量夹角的正切值为 10. 在中，内角，，所对的边分别为，，，其中，且，若边上的中点为，则（ ） A. B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 在平面直角坐标系中，圆，点为直线上的动点，则（ ） A. 圆上有且仅有两个点到直线距离为 B. 已知点，圆上的动点，则的最小值为 C. 过点作圆的一条切线，切点为可以为 D. 过点作圆的两条切线，切点为，则直线恒过定点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，则_______________. 13. 若函数在区间内没有零点，则正数ω的取值范围是____． 14. 若函数的图象关于对称，则__________，的最小值为______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数在及处取得极值． （1）求a，b的值； （2）若方程有三个不同的实根，求c的取值范围． 16. 某学校组织一项竞赛，在初赛中有两轮答题：第一轮从类三个问题中随机选两题作答，每答对一题得20分，答错得0分；第二轮从类的分值分别为20，30，40的3个问题中随机选两题作答，每答对一题得满分，答错得0分.若两轮总积分不低于90分，则晋级复赛.甲、乙同时参赛，在类的三个问题中，甲每个问题答对的概率均为，乙只能答对两个问题；在类的3个分值分别为20，30，40的问题中，甲答对的概率分别为1，，，乙答对的概率分别为，，.甲、乙回答任一问题正确与否互不影响.设甲、乙在第一轮的得分分别为，. （1）分别求，的概率分布列； （2）分别计算甲、乙晋级复赛的概率，并请说明谁更容易晋级复赛？ 17. 如图，在四棱锥中，点为中点，底面，平面平面． （1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角正弦值． 18. 已知双曲线的左､右焦点分别为，点在的右支上.为原点，且． （1）若点为的中点，求的长度； （2）过作直线与的右支交于两点，当的面积为时，求直线的方程． 19. 数列：满足：，，或1．对任意，，都存在，，使得，其中且两两不相等． （1）若时，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列序号；①1，1，1，2，2，2；②1，1，1，1，2，2，2，2；③1，1，1，1，1，2，2，2，2，2； （2）记，若，求的最小值； （