精品解析：2024年高三数学极光杯线上测试（一）

2024年“极光杯”线上测试（一） 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 设集合，，若，则（ ） A B. C. D. 3. 若5个正数之和为2，且依次成等差数列，则公差的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 若平面向量满足，则（ ） A. B. C. D. 5. 对于各数位均不为0的三位数，若两位数和均为完全平方数，则称具有“性质”，则具有“性质”的三位数的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 在二面角中，点，，，，，且与半平面，所成的角相等，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知凸四边形内接于圆，，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 设双曲线，则（ ） A. 的实轴长为2 B. 的焦距为4 C. 离心率为2 D. 的渐近线方程为 10. 已知函数，记的极小值点为，极大值点为，则（ ） A. B. C D. 11. 已知随机变量服从正态分布，．记的密度函数为，则（ ） A. B. C. D. 12. 已知实数满足，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 设，则______． 14. 若某圆锥的侧面积为底面积的倍，则该圆锥的母线与底面所成角的正切值为__________. 15. 设为坐标原点，椭圆的左、右顶点分别为，，点为椭圆上一点，直线的斜率为，的斜率为2，则的斜率为______． 16. 在的展开式中，若的系数为，则______；若展开式中有且仅有项的系数最大，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知直线和是函数图像两条相邻的对称轴． （1）求的解析式和单调区间； （2）保持图像上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图像．若在区间恰有两个极值点，求的取值范围． 18. 为考查一种新治疗方案是否优于标准治疗方案，现从一批患者中随机抽取100名患者，均分为两组，分别采用新治疗方案与标准治疗方案治疗，记其中采用新治疗方案与标准治疗方案治疗受益的患者数分别为和．在治疗过程中，用指标衡量患者是否受益：若，则认为指标正常；若，则认为指标偏高；若，则认为指标偏低．若治疗后患者的指标正常，则认为患者受益于治疗方案，否则认为患者未受益于治疗方案．根据历史数据，受益于标准治疗方案的患者比例为0.6． （1）求和； （2）统计量是关于样本的函数，选取合适的统计量可以有效地反映样本信息．设采用新治疗方案治疗第位的患者治疗后指标的值为，，2，，50，定义函数： （ⅰ）简述以下统计量所反映的样本信息，并说明理由． ①； ②； （ⅱ）为确定新的治疗方案是否优于标准治疗方案，请在（ⅰ）中的统计量中选择一个合适的统计量，并根据统计量的取值作出统计决策． 19. 如图，五面体的底面是矩形，∥底面，到底面的距离为1，． （1）证明：平面平面； （2）设平面平面． ①证明：底面； ②求到底面的距离． 20. 已知等比数列的公比，成公差为的等差数列． （1）求的最小值； （2）当取最小值时，求集合中所有元素之和． 21. 设为坐标原点，为抛物线上异于一点，，． （1）求的最小值； （2）求的取值范围； （3）证明：． 22. 已知函数，. （1）求曲线的平行于直线的切线方程； （2）讨论的单调性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年“极光杯”线上测试（一） 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答