6.4.1&6.4.2 平面几何中的向量方法与向量在物理中的应用（同步课件）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第二册）

6.4 平面向量的应用 6.4.1 平面几何中的向量方法 &6.4.2 向量在物理中的应用举例 复习导入 已知，． 则 数乘的坐标表示 已知，那么， 即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 平面向量共线 向量 复习导入 向量的数量积 ①数量积定义： ②出现垂直： ③求夹角： ④求模长： （两点间距离公式） 新知探究 例1：如图，是的中线，用向量方法证明： 证明：延长DE至点F,使DE=EF,连结CF F C A B D E 问题1：用初中的方法如何证明？ ∵E为AC中点，∴AE=EC ∴BC=DF=2DE,且DE∥BC ∴四边形DBCF为平行四边形 又∵AD=BD,∴BD=CF ∴AB∥CF,即BD∥CF ∴AD=CF,∠ADE=∠F ∴△AED≌△CEF(SAS) 又∵DE=EF,∠AED=∠CEF 证明：如图，因为是的中线， 所以，. 从而. 又 所以. 于是 新知探究 例1：如图，是的中线，用向量方法证明： C A B D E 问题2：如何利用向量证明？ 新知探究 思考：利用向量法解决平面几何问题的基本思路是什么？ 转 化 用向量表示问题中涉及的几何元素，把几何问题转化为向量问题 通过向量运算研究几何元素之间的关系 把运算结果“翻译”成几何关系 运 算 翻 译 练习巩固 例2：如图，已知平行四边形，你能发现对角线 的长度与两条邻边 的长度之间的关系吗？ 解：第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的 几何元素，将平面几何问题转化为向量问题： 如图，取为基底，设，， 则，. 第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系： ，. 上面两式相加，得. 第三步，把运算结果“翻译”成几何关系：. 练习巩固 练习1：若点是内一点，并且满足，求证： A D C B 解：设，，， 则， 因为， 化简，得，即是 所以，故 新知探究 例3：在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗？ 解：设作用在旅行包上的两个拉力分别为，. 另设的夹角为,旅行包所受的重力为. 由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识可得 之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力 新知探究 例3：在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗？ 追问1：两当θ为何值时，最小？最小值是多少？ 当取最大值1时，最小， 追问2：能等于吗？为什么？ 当时，， 新知探究 例4：如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行.已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时，这艘船行驶完全程需要多长时间(精确到)？ 解：设点是河对岸一点，与河岸垂直，那么当这艘船实际沿着 方向行驶时，船的航程最短. 如图，设，则 此时，船的航行时间 所以，当航程最短时，这艘船行驶完全程需要. 新知探究 思考：利用向量法解决物理问题的基本思路是什么？ 问题转化 建立模型 求解参数 回答问题 把物理问题转化为数学问题 建立以向量为载体的数学模型 求向量的模、夹角、数量积等 把所得的数学结论回归到物理问题中 练习巩固 练习2：已知两恒力作用于同一质点，使之由点移动到点，求分别对质点所做的功. 解：设物体在力作用下的位移为，则所做的功为 ∵ ∴(焦)， (焦). 练习巩固 变式2：已知两恒力作用于同一质点，使之由点移动到点，求的合力对质点所做的功. 解： (焦). 小结 几何问题 物理问题 小结 向量的数量积 ①出现平行： ） ②出现垂直： ③求夹角： ④求模长： （两点间距离公式） $$