6.4.1 平面几何中的向量方法 （课件）-【步步高】2023-2024学年高一数学必修第二册学习笔记（人教A版2019）

第六章　§6.4　平面向量的应用 6.4.1　平面几何中的向 　　　 量方法 1.能用向量方法解决简单的几何问题. 2.体会向量在解决数学问题中的作用. 学习目标 导语 向量集“数”与“形”于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性，用它研究问题可以实现形象思维与抽象思维的有机结合，因而向量是几何研究的一个有效工具. 一、用向量解决平面几何中的平行(或共线)问题 二、利用向量证明平面几何问题 课时对点练 三、利用平面向量求几何中的长度问题 随堂演练 内容索引 四、利用平面向量求几何中的角度问题 用向量解决平面几何中的平行(或共线)问题 一 6 7 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题. (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系. (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 反思感悟 8 跟踪训练1　设P，Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点，AB∥DC，试用向量证明：PQ∥AB. 9 所以PQ∥AB. 10 利用向量证明平面几何问题 二 例2　如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. 12 则|a|＝|b|，a·b＝0. 13 方法二　如图所示，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系， 设正方形的边长为2，则A(0，0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)， 14 用向量证明平面几何问题的两种基本思路 (1)向量的线性运算法的四个步骤： ①选取基底； ②用基底表示相关向量； ③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系； ④把计算所得结果转化为几何问题. 反思感悟 15 (2)向量的坐标运算法的四个步骤： ①建立适当的平面直角坐标系； ②把相关向量坐标化； ③利用向量的坐标运算找到相应关系； ④利用向量关系回答几何问题. 反思感悟 16 跟踪训练2　如图，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF. 17 方法一　设正方形ABCD的边长为1，AE＝a(0<a<1)， 18 方法二　如图，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系. 设正方形ABCD的边长为1， 19 利用平面向量求几何中的长度问题 三 例3　在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长. 21 ＝1＋4＋2a·b＝6， 22 用向量法求长度的策略 (1)根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解. (2)建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝ 反思感悟 23 跟踪训练3　在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，则BC边上的中线AD的长是 √ 24 利用平面向量求几何中的角度问题 四 求： (1)AD的长； 26 27 (2)∠DAC的大小. 设∠DAC＝θ(0°<θ<120°)， ∴θ＝90°，即∠DAC＝90°. 28 用向量法求角度的策略 (1)将要求的角转化为两向量的夹角，再使用基底法或坐标法求出该夹角的余弦值，然后求出该夹角，再转化为实际问题中的角即可. (2)要注意，两向量的夹角和要求角的关系. 反思感悟 29 跟踪训练4　正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，则 cos∠DOE＝ . 30 以O为原点，以OA，OC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示. 31 1.知识清单： (1)用向量解决平面几何中的平行(或共线)问题. (2)利用向量证明平面几何问题. (3)利用平面向量求几何中的长度问题. (4)利用平面向量求几何中的角度问题. 2.方法归纳：转化法、数形结合法. 3.常见误区：不能将几何问题转化为向量问题. 课堂小结 随堂演练 五 1 2 3 4 A.是正三角形 B.是直角三角形 C.是等腰三角形 D.形状无法确定 √ 1 2 3 4 2.已知A，B，C，D四点的坐标分别为(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，则此四边形为 A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 √ 1 2 3 4 3.在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D为AC的中点，则cos∠BDC等于 √ 1 2 3 4 如图，以B为原点，BC，BA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系， 则B(0,0)，A(0,8)，C(6,0)，D(3,4)， 1 2 3 4 ∴AP为Rt△ABC的斜边BC上的中线. 1 课时对点练 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴四边形ABCD的面积 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.等边三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.点P在线段AB上 B.点P在线段AB的反向延长线上 C.点P在线段AB的延长线上 D.点P不在直线AB上 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴点P在线段AB的反向延长线上. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以A为坐标原点，AB，AD所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系. 所以2×4＋(－a)·a＝0，即a2＝8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 取BC的中点O，连接AO，如图所示. ∴M为BC边上靠近C的三等分点， ∵AB＝AC，∴AO⊥BC， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，以A为坐标原点，AB，AD所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2,0)，D(0,1)， ∴C(2,1). ∵E，F分别为BC，CD的中点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.如图，已知E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量法证明：四边形EFGH是平行四边形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，连接AC, 因为E，F分别是AB，BC的中点， 又因为EF，HG不在一条直线上， 所以四边形EFGH是平行四边形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上的中点，点F在边CD上. (1)若AB＝BC＝2，点F是边CD上靠近点C的三等分点，求 的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系. 因为AB＝BC＝2，点F是边CD上靠近点C的三等分点，点E是BC边上的中点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，D为BC边的中点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 所以动点M在线段BC的垂直平分线上，所以动点M形成的图形必经过△ABC的外心. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 将△ABC各边及PA，PB，PC均用向量表示， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，以A为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系， 则A(0,0)，B(5,0)，C(2,2 )，E(4,0)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，由题意得 设点F(x，y)， 由A，F，E三点共线得 即x－3y＝0， ① 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由B，F，D三点共线得 (x－10)(5－y)－y(－x)＝0， 即x＋2y＝10， ② 由①②解得x＝6，y＝2，则F(6,2)， 16.如图所示，以△ABC的两边AB，AC为边向外作正方形ABGF和ACDE，M为边BC的中点.求证：AM⊥EF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为M是边BC的中点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 例1　如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且＝＝.求证：点E，O，F在同一直线上. ＝＋＝＋＝(m＋n)－m＝m＋n. 所以＝. 又O为和的公共点，故点E，O，F在同一直线上. 设＝m，＝n， 由＝＝，知E，F分别是CD，AB的三等分点， 所以＝＋＝＋＝－m＋(m＋n)＝m＋n， ＝(＋)＝(－λ＋1)， 所以∥，又P，Q，A，B四点不共线， 设＝λ(λ>0且λ≠1)， 因为＝－＝＋－＝＋(－) ＝＋[(－)－(＋)]＝＋(－) 所以·＝· ＝－－a·b＋＝－|a|2＋|b|2＝0. 故⊥，即AF⊥DE. 方法一　设＝a，＝b， 又＝＋＝－a＋， ＝＋＝b＋， 则＝(2,1)，＝(1，－2). 因为·＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0， 所以⊥，即AF⊥DE. ＝1×a×cos 180°＋1×(1－a)×cos 90°＋a×a×cos 45°＋a× (1－a)×cos 45°＝－a＋a2＋a(1－a)＝0. ∴⊥，即DP⊥EF. 则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝a， ∴·＝(＋)·(＋) ＝·＋·＋·＋· ∴·＝λ－λ2＋λ2－λ＝0， ∴⊥，即DP⊥EF. AP＝λ(0<λ<)， 则D(0,1)，P，E，F. ∴＝，＝. ∴||＝，即AC＝. 设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b， 而||＝|a－b|＝＝＝＝2， ∴5－2a·b＝4，∴a·b＝， 又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2 ＝. A.2 B. C.3 D. ∵BC的中点为D，＝， ∴||＝＝. 例4　如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝DC. ∴||2＝2＝2＝a2＋2×a·b＋b2 ＝×9＋2××3×3×cos 120°＋×9＝3. ∴AD＝. 设＝a，＝b， 则＝＋ ＝＋＝＋(－) ＝＋＝a＋b. 则θ为与的夹角. ∴cos θ＝＝ ＝＝＝0. 由题意知，＝，＝， 故cos∠DOE＝＝＝. 即||＝||，即CA＝CB，则△ABC是等腰三角形. (＋)·(－)＝2－2＝0， 1.在△ABC中，若(＋)·(－)＝0，则△ABC 又||≠||，∴该四边形为梯形. ∵＝(3,3)，＝(－2，－2)， ∴＝－，∴与共线. A.－ B. C.0 D. ∴cos∠BDC＝＝＝. ∴＝(－3，－4)，＝(3，－4). 又∠BDC为，的夹角， ∵＝＋(＋)， ∴－＝(＋)， 即＝(＋)， ∴||＝1. 4.在Rt△ABC中，斜边BC的长为2，O是平面ABC内一点，点P满足＝＋(＋)，则||＝ . 1.在四边形ABCD中，若＋＝0，·＝0，则四边形ABCD为 由＋＝0，得＝－＝，∴四边形ABCD为平行四边形.由·＝0知，▱ABCD对角线互相垂直，故四边形ABCD为菱形. ∵·＝－6＋6＝0，∴AC⊥BD. 2.在四边形ABCD中，若＝(1,3)，＝(－6,2)，则该四边形的面积为 A. B.2 C.5 D.10 S＝||||＝××2＝10. 3.已知△ABC满足2＝·＋·＋·，则△ABC是 由题意知，·(－)＋·(－)＝0， 即·＋·＝0， 即·＝0， 则⊥，故△ABC为直角三角形. 4.已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且＝，则 ∵＝＝－， ∴－＝(－)， ∴＝. 5.如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，点E为AB的中点，且⊥，则||等于 A. B.2 C.3 D.2 设||＝a(a>0)，则A(0,0)，C(4，a)，D(0，a)，E(2,0)， 所以＝(2，－a)，＝(4，a). 因为⊥，所以·＝0， 所以a＝2，所以＝(2，－2)， 所以||＝＝2. 6.在△ABC中，AB＝AC＝2，点M满足＋2＝0，若·＝，则BC的长为 A.1 B. C.2 D.3 ∵＋2＝0，即＝2， ∴·＝0， 又＝， ∴·＝·(＋)＝·＋·＝·＝||2＝， 解得||＝2，即BC＝2. 由题意知＋＝2， 7.在△ABC中，M是线段BC的中点，且||＝1，若P为△ABC的重心，则(＋)·(＋)＝ . 所以(＋)·(＋)＝·(＋) ＝2·＝2||||cos 0°＝2×××1＝. 8.已知在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E，F分别为BC，CD的中点，则(＋)·＝ . － ∴E，F(1,1)，∴＝，＝(1,1)， ∴＋＝，＝(－2,1)， ∴(＋)·＝3×(－2)＋×1＝－. 所以EF∥AC，且EF＝AC，即＝， 同理可得＝， 所以＝， · 所以A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(2,1)，D(0,2)，F， 所以＝(2,1)，＝， 所以·＝－＋1＝－. (2)若AB＝，BC＝2，当·＝0时，求CF的长. 因为AB＝，BC＝2， 设F(a,2)(0≤a≤)， 解得a＝， 所以A(0,0)，B(，0)，E(，1)，C(，2)，D(0,2)， 所以＝(，1)，＝(a－，2)， 当·＝0时，(a－)＋2＝0， 所以CF＝－＝. 11.若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3－－＝0，则△ABM与△ABC的面积之比为 A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.2∶5 则＝(＋). 因为3－－＝0， 所以3＝2，所以＝， 所以S△ABM＝S△ABD＝S△ABC. 12.在△ABC中，设2－2＝2·，那么动点M形成的图形必经过△ABC的 A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心 假设BC的中点是O，则2－2＝(＋)·(－)＝2·＝2·，即(－)·＝·＝0，所以⊥， 13.在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则等于 A.2 B.4 C.5 D.10 则＝＝ ＝ ＝－6＝42－6＝10. 14.在△ABC中，AB＝5，AC＝4，∠BAC＝60°，D为BC的中点，点E满足＝4，直线CE与AD交于点P，则cos∠DPE等于 A. B. C. D. 因为D为BC的中点，故D， 则＝(2，－2)，＝， 故cos〈，〉＝＝＝， 所以cos∠DPE＝cos〈，〉＝. 15.已知四边形ABCD中，·＝0，＝2，||＝10，||＝5，＝，F为BD与AE的交点，则||等于 A. B.2 C.2 D.2 A(0,0)，B(10,0)，C(5,5)，D(0,5)，E. 则＝(x，y)，＝， x－y＝0， ＝(x－10，y)，＝(－x,5－y)， ∴＝(1，－3)， ∴||＝＝. 所以＝(＋). 又因为＝－， 所以·＝(＋)·(－) ＝(·＋·－·－·) ＝(0＋·－·－0) ＝(·－·) ＝[||||·cos(90°＋∠BAC) －||||·cos(90°＋∠BAC)]＝0， 所以⊥，即AM⊥EF. $$