5.3 矩形的性质与判定-【一战成名新中考】2024广西中考数学·分层作业本

分层作业本·广西数学 第 五 章 四 边 形 命题点３　矩形的性质与判定 （广西２０２３．２６，北部湾６年３考） 　　　　　　　　　　　　　　　　基础达标练 考向１　矩形的性质及相关计算 １．如图，矩形ＡＢＣＤ的两条对角线相交于点Ｏ，点 Ｅ在 ＢＤ的延长线上，若∠ＢＯＣ＝１１０°，则 ∠ＡＤＥ＝ （　Ａ　） Ａ．１４５° Ｂ．１４０° Ｃ．１３５° Ｄ．１３０° 第１题图 　　　　 第２题图 ２．（沪科八下 Ｐ９７第 ２题改编）如图，在矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＥ⊥ＢＤ于点 Ｅ，ＢＥ∶ＥＤ＝１∶３，若 ＡＢ＝２，则ＡＤ＝　２槡３　． ３．如图，矩形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ与ＢＤ相交于点 Ｏ，ＡＣ＝１０，Ｐ、Ｑ分别为 ＡＯ、ＡＤ的中点，则 ＰＱ 的长度为 （　Ｃ　） Ａ．１０ Ｂ．５ Ｃ．２．５ Ｄ．２．２５ 第３题图 　　　　 第４题图 ４．（２０２３杭州）如图，矩形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ，ＢＤ 相交于点Ｏ．若∠ＡＯＢ＝６０°，则 ＡＢ ＢＣ ＝ （　Ｄ　） Ａ． １ ２ Ｂ．槡 ３－１ ２ Ｃ．槡 ３ ２ Ｄ．槡 ３ ３ ５．中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出 证明三角形面积公式的出入相补法．如图所 示，在△ＡＢＣ中，分别取ＡＢ、ＡＣ的中点Ｄ、Ｅ，连 接ＤＥ，过点Ａ作 ＡＦ⊥ＤＥ，垂足为 Ｆ，将△ＡＢＣ 分割后拼接成矩形ＢＣＨＧ．若ＤＥ＝５，ＡＦ＝４，则 △ＡＢＣ的面积是 （　Ｄ　） Ａ．１５ Ｂ．２０ Ｃ．３０ Ｄ．４０ 第５题图 　　　　 第６题图 ６．如图所示，将长方形纸片 ＡＢＣＤ沿折痕 ＥＦ折 叠，点Ｄ、Ｃ的对应点分别为 Ｄ′、Ｃ′，线段 Ｄ′Ｃ′ 交线段 ＢＣ于点 Ｇ，若∠ＦＧＣ′＝２０°，则∠ＤＥＦ 的度数是　５５　°． ７．如图，点Ｅ在矩形ＡＢＣＤ边ＢＣ的延长线上，连 接ＡＣ，ＤＥ，ＢＥ＝ＡＣ，若∠Ｅ＝７０°，则∠ＡＣＢ的度 数是 （　Ａ　） Ａ．４０° Ｂ．５０° Ｃ．７０° Ｄ．３０° 第７题图 　　　　 第８题图 ８．（２０２３河池一模）在矩形 ＡＢＣＤ中，过 ＡＣ的中 点Ｏ作ＥＦ⊥ＡＣ，交ＢＣ于Ｆ，交ＡＤ于Ｅ，连接 ＡＦ、ＣＥ．若ＡＢ＝槡３，∠ＤＣＥ＝３０°，则ＥＦ的长为 （　Ａ　） Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．２槡３ Ｄ．槡３ 考向２　矩形的判定及相关计算 ９．（２０２１河池）已知ＡＢＣＤ，下列条件中，不能判 定这个平行四边形为矩形的是 （　Ｂ　） Ａ．∠Ａ＝∠Ｂ Ｂ．∠Ａ＝∠Ｃ Ｃ．ＡＣ＝ＢＤ Ｄ．ＡＢ⊥ＢＣ １０．（优质原创）下列四边形不一定是矩形的是 （　Ｂ　） １１．（２０２０贺州）如图，已知在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ， 第１１题图 ＡＤ是 ＢＣ边上的中线，Ｅ，Ｇ分 别是ＡＣ，ＤＣ的中点，Ｆ为ＤＥ延 长线上的点，∠ＦＣＡ＝∠ＣＥＧ． （１）求证：ＡＤ∥ＣＦ；                                                                    ９７ 分层作业本·广西数学 第 五 章 四 边 形 （２）求证：四边形ＡＤＣＦ是矩形． 证明：（１）∵Ｅ，Ｇ分别是ＡＣ，ＤＣ的中点， ∴ＥＧ是△ＡＣＤ的中位线，∴ＥＧ∥ＡＤ， ∵∠ＦＣＡ＝∠ＣＥＧ，∴ＥＧ∥ＣＦ，∴ＡＤ∥ＣＦ； （２）由（１）得ＡＤ∥ＣＦ， ∴∠ＤＡＥ＝∠ＦＣＥ，∠ＡＤＥ＝∠ＣＦＥ， ∵Ｅ是ＡＣ的中点，∴ＡＥ＝ＣＥ， ∴△ＡＤＥ≌△ＣＦＥ（ＡＡＳ），∴ＡＤ＝ＣＦ， ∴四边形ＡＤＣＦ是平行四边形， 又∵ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ是ＢＣ边上的中线， ∴ＡＤ⊥ＢＣ，∴∠ＡＤＣ＝９０°， ∴平行四边形ＡＤＣＦ是矩形． １２．（２０２３贵港一模）如图，在平行四边形 ＡＢＣＤ 中，过点Ｄ作ＤＥ⊥ＡＢ于点 Ｅ，点 Ｆ在 ＣＤ边 上，ＤＦ＝ＢＥ，连接ＡＦ，ＢＦ． （１）求证：四边形ＢＦＤＥ是矩形； （２）若ＡＦ平分∠ＤＡＢ，ＣＦ＝３，ＤＦ＝５，求四边 形ＢＦＤＥ的面积． 第１２题图 （１）证明：∵四边形 ＡＢＣＤ 是平行四边形， ∴ＤＦ∥ＥＢ， 又∵ＤＦ＝ＥＢ， ∴四边形 ＢＦＤＥ是平行四 边形， ∵ＤＥ⊥ＡＢ，∴∠ＤＥＢ＝９０°， ∴四边形ＢＦＤＥ是矩形； （２）解：∵ＡＦ平分∠ＤＡＢ，ＤＣ∥ＡＢ， ∴∠ＤＡＦ＝∠ＦＡＢ，∠ＤＦＡ＝∠ＦＡＢ， ∴∠ＤＡＦ＝∠ＤＦＡ， ∴ＡＤ＝ＦＤ＝５， ∵ＡＢ＝ＣＤ，ＤＦ＝ＢＥ， ∴ＡＥ＝ＣＦ＝３， ∴在Ｒｔ△ＡＤＥ中，ＤＥ＝ ＡＤ２－ＡＥ槡 ２＝４， ∴矩形ＢＦＤＥ的面积是ＤＦ·ＤＥ＝５×４＝２０． １３．如图，四边形 ＡＢＣＤ的对角线 ＡＣ，ＢＤ相交于 点Ｏ，其中 ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ∥ＣＤ，ＡＣ＝２ＯＢ，Ｅ为 ＣＤ上一点，连接ＡＥ，ＯＥ． （１）求证：四