5.3 矩形的性质与判定-【一战成名新中考】2024广西中考数学·基础夯实练

基础夯实练·广西数学 ３．在平行四边形ＡＢＣＤ中，∠ＡＢＣ的平分线交ＡＤ于点Ｅ，交ＣＤ的延长线于点Ｆ． （１）如图①，若∠ＡＢＣ＝６０°，ＡＢ＝２，则ＡＥ＝　２　，∠ＦＥＤ＝　３０°　，∠Ｆ＝　３０°　； 图① 　　 图② 第３题图 （２）如图②，连接ＣＥ，点Ｇ，Ｈ分别是ＢＥ，ＣＥ的中点，连接ＧＨ，ＡＥ＝２ＥＤ，ＧＨ＝４．５． ①ＢＣ＝　９　，ＡＢ＝　６　，ＤＦ＝　３　； ②若△ＤＥＦ的面积为６，则平行四边形ＡＢＣＤ的面积为　７２　． 命题点３　 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 矩形的性质与判定 １．理解矩形的概念； ２．探索并证明矩形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等；探索并证明矩形的判定定理：三个 角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形． 要点归纳 １．矩形：有一个角是①　直角　的平行四边形 獉獉獉獉獉 叫作矩形． ２．矩形的性质（矩形具有平行四边形的一切性质） 边 对边②　平行　且③　相等　，即 ＡＢ∥ＣＤ，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ＝ ＣＤ，ＡＤ＝ＢＣ 角 四个角都是直角，即∠ＡＢＣ＝∠ＢＣＤ＝∠ＣＤＡ＝∠ＤＡＢ＝９０° 对角线 对角线互相④　平分且相等　，即ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ＝ＯＤ，ＡＣ＝ＢＤ 对称性 既是轴对称图形（有⑤　２　条对称轴），又是中心对称图形 面积 等于相邻两边的乘积，Ｓ矩形ＡＢＣＤ＝ＡＢ·ＡＤ ３．矩形的判定 图形 添加条件 判定定理 （１）∠ＡＢＣ＝ ⑥　９０　° 有⑦　一个角是直角　的平行四 边形是矩形 （２）ＡＣ⑧　＝　ＢＤ ⑨　对角线相等　的平行四边形 是矩形 （３）∠Ａ＝∠Ｂ＝∠Ｃ＝ ⑩　９０　° 有瑏瑡　三个角　是直角的四边形 是矩形 ４９ 基础夯实练·广西数学 ４．矩形中的特殊三角形与面积问题 图形 延伸：６０° （或ＡＢ＝ＡＯ） 结论 一对全等 獉獉 的直角三角形； Ｓ１瑏瑢　＝　Ｓ２ 两对全等 獉獉 的等腰三角形； Ｓ１瑏瑣＝　Ｓ２瑏瑤＝　Ｓ３瑏瑥＝　Ｓ４ △ＡＯＢ和△ＤＯＣ是一对 全等 獉獉 的等边三角形 随堂练习 １．在矩形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ． （１）如图①，若ＡＯ＝５，ＡＢ＝６，则ＢＣ＝　８　，矩形ＡＢＣＤ的面积为　４８　； （２）如图②，过点Ｏ作ＯＰ⊥ＢＣ于点Ｐ，若ＯＰ＝２，ＢＣ＝８，则ＡＢ＝　４　，ＢＤ＝　４槡５　； 图① 　　 图② 　　 图③ 第１题图 （３）（人教八下Ｐ５３例１改编）如图②，若∠ＡＢＯ＝６０°，ＡＢ＝２，则△ＡＯＢ是　等边　三角形， ＡＣ＝　４　，ＢＣ＝　２槡３　； （４）如图③，过点Ｏ作ＯＥ⊥ＢＤ交ＡＤ于Ｅ，若ＡＢ＝４，ＡＤ＝８，则ＡＥ＝　３　． ２．在ＡＢＣＤ中，ＢＤ⊥ＢＣ，点Ｅ是ＣＢ延长线上一点，连接ＡＥ． （１）如图①，有以下条件：①∠ＡＥＢ＝９０°，②ＡＥ∥ＢＤ，③ＡＥ＝ＢＥ，④ＡＤ＝ＥＢ．请从中选择一 个：　①　（填写序号），证明四边形ＡＤＢＥ是矩形，填写判定依据：　三个角是直角的四 边形是矩形（答案不唯一）　； （２）如图②，连接ＤＥ．若ＤＥ＝ＤＣ，求证：四边形ＡＤＢＥ是矩形． 图① 　　 图② 第２题图 证明：∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，∴ＡＤ∥ＢＣ，ＡＤ＝ＢＣ，ＡＢ＝ＣＤ． ∵ＤＥ＝ＤＣ，ＤＢ⊥ＢＣ，∴ＤＥ＝ＡＢ，ＢＥ＝ＢＣ， ∴ＡＤ∥ＢＥ，ＡＤ＝ＢＥ，∴四边形ＡＤＢＥ是平行四边形， ∵ＤＥ＝ＡＢ，∴四边形ＡＤＢＥ是矩形． ５９ （４）∠Ｅ＝∠Ｆ（或∠Ａ＝∠Ｄ或∠ＡＥ∥ＤＦ），ＡＡＳ ２．证明：（１）∵∠Ｂ＝∠Ｅ，∠ＣＡＢ＝∠ＤＡＥ，ＡＣ＝ＡＤ， ∴△ＡＢＣ≌△ＡＥＤ，∴ＡＢ＝ＡＥ， ∴ＡＢ－ＡＤ＝ＡＥ－ＡＣ，∴ＢＤ＝ＣＥ． （２）如解图①，连接ＢＥ， ∵ＯＥ＝ＯＢ，∴∠ＯＥＢ＝∠ＯＢＥ． ∵ＯＤ＝ＯＣ，∠ＤＯＢ＝∠ＣＯＥ，ＯＢ＝ＯＥ， ∴△ＯＢＤ≌△ＯＥＣ， ∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＥＤ，ＢＤ＝ＣＥ， ∴∠ＡＢＣ＋∠ＥＢＣ＝∠ＡＥＤ＋∠ＢＥＤ， ∴∠ＡＢＥ＝∠ＡＥＢ，∴ＡＢ＝ＡＥ， ∴ＡＢ－ＢＤ＝ＡＥ－ＣＥ，∴ＡＤ＝ＡＣ． 第２题解图① 　 第２题解图② （３）如解图②，连接ＡＯ， ∵∠ＯＣＥ＝∠ＯＤＢ＝９０°， ∴∠ＡＣＯ＝∠ＡＤＯ＝９０°， ∵ＣＯ＝ＤＯ，ＡＯ＝ＡＯ， ∴Ｒｔ△ＡＣＯ≌Ｒｔ△ＡＤＯ，∴ＡＤ＝ＡＣ． 命题点９　相似三角形的性质与判定 要点归纳　① ｃｄ　② ＡＥ ＥＣ　③ ＡＥ ＡＣ　④ ＡＣ ＣＥ　⑤相等　⑥成比 例　⑦相似比　⑧相似比　⑨相似比的平方　⑩相等 瑏瑡成比例　瑏瑢相似比　瑏瑣相似比的平方　瑏瑤位似多边形　 瑏瑥位似中心　瑏瑦平行 随堂练习　１．（