4.11 锐角三角函数的应用-【一战成名新中考】2024广西中考数学·基础夯实练

基础夯实练·广西数学 随堂练习 在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝９０°． （１）若ＡＣ＝３，ＢＣ＝４，则ｓｉｎＡ＝　　　；ｃｏｓＡ＝　　　；ｔａｎＡ＝　　　； （２）若ｓｉｎ∠ＢＡＣ＝３５，将△ＡＢＣ三边都扩大３倍得到△Ａ′Ｂ′Ｃ′，则ｓｉｎ∠Ｂ′Ａ′Ｃ′＝　　　； 变式题图 （３）若ｔａｎＢ＝２３，ＡＣ＝４，则ＢＣ的长为　６　； （４）若ＡＢ＝１５，ｓｉｎＡ＝１３，则ＡＣ的长为　１０槡２　． 变式　如图，若△ＡＢＣ的三个顶点均在正方形网格的格点上，则ｔａｎＡ＝　　　． 命题点１１　 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 锐角三角函数的应用 １．在平面上，运用方位角和距离刻画两个物体的相对位置； ２．能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题； ３．了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并会按问题的要求进行简单的近似计算． 要点归纳 １．用锐角三角函数解实际应用题的三种常见背景 概念 俯角、仰角 坡度（坡比） 方向角 图形 ｉ＝ｔａｎα＝ｈｌ 　 点Ａ在点 Ｏ的①　北偏 东３０°　方向 点Ｂ在点 Ｏ的②　南偏 东６０°　方向 点Ｃ在点 Ｏ的③　西北 （北偏西４５°）　方向 ２．锐角三角函数实际应用的常考模型 共高型 　 　 ７８ 基础夯实练·广西数学 共直角型 　 　 双垂直型 　 　 构造型 　 　 随堂练习 如图，ＡＢ＝１６米，从点Ｂ观测点Ｃ的仰角为４５°，点Ｄ的俯角为２２°，求ＣＤ的高．（结果保留整 数，参考数据：ｓｉｎ２２°≈０．３７，ｃｏｓ２２°≈０．９３，ｔａｎ２２°≈０．４０） 　　 解：如解图，过点Ｂ作ＢＥ⊥ＣＤ于点Ｅ，则∠ＣＢＥ＝４５°，∠ＥＢＤ＝２２°，易得四边形ＡＢＥＤ是矩形， ∴ＢＥ＝ＡＤ，ＤＥ＝ＡＢ＝１６米， 在Ｒｔ△ＢＤＥ中，ＢＥ＝ ＤＥｔａｎ∠ＤＢＥ≈ ４０（米）， 在Ｒｔ△ＢＣＥ中，ＣＥ＝ＢＥ≈４０（米）， ∴ＣＤ＝ＣＥ＋ＤＥ≈５６（米）； 答：ＣＤ的高约为５６米． ８８ （４）∠Ｅ＝∠Ｆ（或∠Ａ＝∠Ｄ或∠ＡＥ∥ＤＦ），ＡＡＳ ２．证明：（１）∵∠Ｂ＝∠Ｅ，∠ＣＡＢ＝∠ＤＡＥ，ＡＣ＝ＡＤ， ∴△ＡＢＣ≌△ＡＥＤ，∴ＡＢ＝ＡＥ， ∴ＡＢ－ＡＤ＝ＡＥ－ＡＣ，∴ＢＤ＝ＣＥ． （２）如解图①，连接ＢＥ， ∵ＯＥ＝ＯＢ，∴∠ＯＥＢ＝∠ＯＢＥ． ∵ＯＤ＝ＯＣ，∠ＤＯＢ＝∠ＣＯＥ，ＯＢ＝ＯＥ， ∴△ＯＢＤ≌△ＯＥＣ， ∴∠ＡＢＣ＝∠ＡＥＤ，ＢＤ＝ＣＥ， ∴∠ＡＢＣ＋∠ＥＢＣ＝∠ＡＥＤ＋∠ＢＥＤ， ∴∠ＡＢＥ＝∠ＡＥＢ，∴ＡＢ＝ＡＥ， ∴ＡＢ－ＢＤ＝ＡＥ－ＣＥ，∴ＡＤ＝ＡＣ． 第２题解图① 　 第２题解图② （３）如解图②，连接ＡＯ， ∵∠ＯＣＥ＝∠ＯＤＢ＝９０°， ∴∠ＡＣＯ＝∠ＡＤＯ＝９０°， ∵ＣＯ＝ＤＯ，ＡＯ＝ＡＯ， ∴Ｒｔ△ＡＣＯ≌Ｒｔ△ＡＤＯ，∴ＡＤ＝ＡＣ． 命题点９　相似三角形的性质与判定 要点归纳　① ｃｄ　② ＡＥ ＥＣ　③ ＡＥ ＡＣ　④ ＡＣ ＣＥ　⑤相等　⑥成比 例　⑦相似比　⑧相似比　⑨相似比的平方　⑩相等 瑏瑡成比例　瑏瑢相似比　瑏瑣相似比的平方　瑏瑤位似多边形　 瑏瑥位似中心　瑏瑦平行 随堂练习　１．（１）４；（２）１３，１∶３， １ ９　２． ２４ ５　３．槡４２ ４．１∶２　５．２３　６． １５ ４　７． 槡１０ ５ 　８． １４ ３　９． ２５ ４　１０．Ｃ 命题点１０　锐角三角函数 要点归纳 　① ａｃ　② ｂ ｃ　③ ａ ｂ　④ 槡２ ２　⑤ 槡３ ２　⑥ 槡３ ２ ⑦１２　⑧１　⑨９０°　⑩ｓｉｎＢ　瑏瑡 ａ ｂ 随堂练习　（１）４５； ３ ５； ４ ３；（２） ３ ５；（３）６；（４） 槡１０２ 变式　１２ 命题点１１　锐角三角函数的应用 要点归纳　 ①北偏东３０°　②南偏东６０°　③西北（北偏西４５°） 随堂练习 解：如解图，过点 Ｂ作 ＢＥ⊥ＣＤ于点 Ｅ，则 ∠ＣＢＥ＝４５°，∠ＥＢＤ＝２２°，易得四边形ＡＢＥＤ 是矩形，∴ＢＥ＝ＡＤ，ＤＥ＝ＡＢ＝１６米， 在Ｒｔ△ＢＤＥ中，ＢＥ＝ ＤＥｔａｎ∠ＤＢＥ≈ ４０（米）， 在Ｒｔ△ＢＣＥ中，ＣＥ＝ＢＥ≈４０（米）， ∴ＣＤ＝ＣＥ＋ＤＥ≈５６（米）． 答：ＣＤ的高约为５６米                                    ． 第五章　四边形 命题点１　多边形的性质与计算 要点归纳　①（ｎ－２）·１８０°　②３６０°　③（ｎ－３） ④ｎ（ｎ－３）２ 　⑤相等　⑥相等　⑦ （ｎ－２）·