4.3诱导公式与对称（教学设计）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（北师大版2019必修第二册）

北师大版必修第二册第一章《三角函数》 《4.3诱导公式与对称》教学设计 【教学目标】 1.了解正弦函数、余弦函数诱导公式的意义和作用； 2.理解诱导公式的推导；（逻辑推理） 3.能运用诱导公式解决一些正弦函数、余弦函数的求值、化简、证明问题.（数学运算） 【教学重点】 1.正弦函数、余弦函数的诱导公式； 2.正弦函数、余弦函数的诱导公式的求值、化简. 【教学难点】 诱导公式的推导与运用. 【教学过程】 一、问题提出，创设情境 上节课我们学习了正弦函数、余弦函数的周期性，知道了： 终边相同的角的正弦函数值相等，即sin (2kπ＋α)＝sinα，k∈Z； 终边相同的角的余弦函数值相等，即cos (2kπ＋α)＝cosα，k∈Z； 例如sin (2π＋)＝sin==；sin (－2π)= ＝sin== 这说明借助三角函数的周期，我们能把负角化为正角，把大角化为小角，然后，我们就能借助特殊角的三角函数值求出其他角的三角函数值. 问题1：我们已经知道那么的值是多少呢？ 问题2：与的值之间是否有什么关系呢？ 问题3：是否有一组公式能把负角化为正角，把大角化为小角，然后，我们就能借助特殊角的三角函数值求出其他角的三角函数值. 我们把这组公式叫三角诱导公式，下面我们将借助单位圆的对称性探究诱导公式： 二、合作探究，得出诱导公式 探究一.角α与－α的正弦函数、余弦函数的关系 如图1-25，在平面直角坐标系中，设任意角α和－α的终边与单位圆的交点分别为点P和P'，请同学们思考一下问题 （1）观察图1-25中，判断点P和P'的对称性； 点P'与点P关于x轴对称 （2）设点P(u，v)，请写出P' 的坐标； 根据对称性，P' 的坐标是P' (u，－v) （3）根据正弦函数、余弦函数的定义，探究出角α与－α的正弦函数、余弦函数的关系. 点P和P'的横坐标相等，纵坐标的绝对值相等且符号相反.即 sin (－α)＝－sin α，满足 ，所以正弦函数y= sin α是奇函数； cos (－α)＝cos α，满足 ，所以余弦函数y= cos α是偶函数. 1.sin α，cos α与sin (－α)，cos (－α)的关系 (1) sin (－α)＝－sin α，所以正弦函数v＝sin α是奇函数； (2) cos (－α)＝cos α，所以余弦函数u＝cos α是偶函数. [提问] 请同学们利用sin (－α)＝－sin α求出的值. 探究二.角α与α±π的正弦函数、余弦函数的关系 如图1-26，在平面直角坐标系中，设任意角α的终边与单位圆的交点为P，当点P沿逆(顺)时针方向旋转π弧度至点P' 时，请同学们思考一下问题： （1）点P' 是哪个角的终边与单位圆的交点？ 点P'是α±π的终边与单位圆的交点 （2）判断点P'与点P的对称性？ 点P'与点P关于原点对称 （3）设点P(u，v)，请写出P' 的坐标. 根据对称性，P' 的坐标是P' (－u，－v) （4）根据正弦函数、余弦函数的定义，探究出角α与α±π的正弦函数、余弦函数的关系. P' 与点P的横坐标的绝对值相等且符号相反，纵坐标的绝对值也相等且符号相反.即 sin (α＋π)＝－sinα，sin (α－π)＝－sinα， cos (α＋π)＝－cosα，cos (α－π)＝－cosα. 2.sin α，cos α与sin (α±π)，cos (α±π)的关系 （1）sin (α＋π)＝－sinα，sin (α－π)＝－sinα， （2 cos (α＋π)＝－cosα，cos (α－π)＝－cosα. [提问]请同学们利用sin (α＋π)＝－sinα求出的值. 探究三.角α与角π－α的正弦函数、余弦函数的关系 如图1-27，在平面直角坐标系中，设任意角α的终边与单位圆的交点为P，角π－α与单位圆的交点为点P' 时，请同学们思考一下问题： （1）判断点P'与点P的对称性？ 点P'与点P关于y轴对称 （2）设点P(u，v)，请写出P' 的坐标. 根据对称性，P' 的坐标是P' (－u，v) （3）根据正弦函数、余弦函数的定义，探究出角α与角π－α的正弦函数、余弦函数的关系. P' 与点P的横坐标的绝对值相等且符号相反，纵坐标的值相等.即 sin (π－α)＝sinα，cos (π－α)＝－cosα. 3. sin α，cos α与sin (π－α)，cos (π－α)的关系 sin (π－α)＝sinα，cos (π－α)＝－cosα. 三角函数的诱导公式 1.sin α，cos α与sin (－α)，cos (－α)的关系 (1) sin (－α)＝－sin α，所以正弦函数v＝sin α是奇函数； (2) cos (－α)＝cos α，所以余弦函数u＝cos α是偶函数. 2.si