4.2单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质（教学设计）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（北师大版2019必修第二册）

北师大版必修第二册第一章《三角函数》 《4..2单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质》 【教学目标】 1.会用单位圆探究正弦函数、余弦函数的定义域、最值、周期性、单调性等基本性质；（逻辑推理） 2.能利用正弦、余弦函数的基本性质解决相关问题；（数学运算）. 3.借助正弦函数、余弦函数的定义理解并掌握正弦、余弦函数值在各象限内的符号；（数学抽象） 【教学重点】 正弦函数、余弦函数的基本性质及其简单应用； 【教学难点】 求正弦函数在给定区间的最值和单调区间. 【教学过程】 一、合作探究正弦函数、余弦函数的性质 探究一：正弦函数、余弦函数的定义域 问题1：设任意角x与单位圆的交点P(cos x, sin x),当自变量x变化时，点P(cos x, sin x)的坐标也随之变化，此时请同学们观察正弦函数y＝sin x、余弦函数y＝cos x的定义域是什么？ [正弦函数、余弦函数是以角度x为自变量的函数，根据任意角的推广可知，正弦函数、余弦函数的定义域是实数集R.] 1. 正弦函数y＝sin x、余弦函数y＝cos x的定义域是R. 问题2：自变量角x是选择哪种单位制与实数对应起来的？ [角是选择弧度制作为单位时，使得角与实数意义对应,角的正负由旋转方向决定，终边顺时针旋转为负角，逆时针旋转为正角] 探究二：正弦函数、余弦函数的值域、最值 问题1：正弦函数、余弦函数的值域是什么？ ［－1，1］ 问题2：同学们是从单位圆的什么地方发现这一性质的？ 角的终边与单位圆交点的横坐标为余弦函数值，纵坐标为正弦函数值，当角旋转时，其变化范围都是［－1，1］ 问题3：当角的终边旋转到什么位置时取到最值？ 正弦函数：当终边转到y轴正半轴时，取得最大值1； 当终边转到y轴负半轴时，取得最小值－1. 余弦函数：当终边转到x轴正半轴时，取得最大值1； 当终边转到x轴负半轴时，取得最小值－1. 2. 正弦函数、余弦函数的值域、最值 （1）正弦函数y＝sin x的值域是［－1，1］ 当x＝－＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1；当x＝＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1 （2）余弦函数y＝cos x的值域是［－1，1］ 当x＝π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1；当x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1 探究三：正弦函数、余弦函数的周期性 问题1：正弦函数、余弦函数是否具有周期性？若有，最小正周期分别是多少？ 根据正弦函数、余弦函数的定义，如图1-19所示， 终边相同的角的正弦函数值相等，即sin (2kπ＋α)＝sinα，k∈Z； 终边相同的角的余弦函数值相等，即cos (2kπ＋α)＝cosα，k∈Z； 对于任意的角α，每增加2π的整数倍，其正弦函数值、余弦函数值均不变，所以正弦函数、余弦函数是周期函数.因此： 3. 正弦函数y＝sin x、余弦函数y＝cos x的周期性 对任何k∈Z且k≠0，2kπ均是正弦函数余弦函数的周期，最小正周期是2π 问题2：请同学思考如何从单位圆发现正弦函数、余弦函数的周期性呢？ 终边旋转时，与单位圆交点的变化呈周期性 问题3：研究其周期性对后续研究有什么好处？ 清楚一个周期上函数的性质，那么整个定义域上函数的性质就完全清楚， 因此可以化无限为有限，简化研究。 探究四：正弦函数、余弦函数的单调性 （1）正弦函数的单调性 在单位圆中，如图1-20，当角α由－增加到时，sin α的值由－1增加到1； 如图1-21，当角α由增加到时，sin α的值由1减小到－1,； 因此正弦函数在区间[－，]上单调递增，在区间[，]上单调递减. 由正弦函数的周期性可知，对任意的k∈Z ，正弦函数 在区间[－＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z 上单调递增， 在区间[＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z 上单调递减. 类似地，请同学们借助单位圆，讨论余弦函数的单调性. （2）余弦函数的单调性 当角α由0增加π到时，cos α的值由1减小到－1， 当角α由π增加到2π]时，cos α的值由－1增加到1， 因此余弦函数在区间[0，π]上单调递减，在区间[π，2π]上单调递增. 由余弦函数的周期性可知，对任意的k∈Z，余弦函数 在区间[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上单调递减； 在区间[π＋2kπ，2π＋2kπ]，k∈Z上单调递增 请同学们用表格的形式将正弦函数y＝sin x、余弦函数y＝cos x的定义域、值域、最大值、最小值、周期性、单调性列举出来. 正弦函数y＝sin x、余弦函数y＝cos x的性质 性质 正弦函数(y＝sin x) 余弦函数(y＝cos x) 定义域 R 值域 [－1，1] 最小值 当x＝－＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1 当x＝π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1 最大值 当x＝＋2kπ，