3.2弧度与角度的换算（教学设计）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（北师大版2019必修第二册）

北师大版必修第二册第一章《三角函数》 《3.2弧度与角度的换算》教学设计 【教学目标】 1.掌握角度和弧度的换算，熟记特殊角度弧度数；（数学运算） 2.掌握弧度制下的扇形的弧长和面积公式，会用弧度解决某些简单的实际问题；（数学建模） 3.通过学习，理解角度制和弧度制都是度量角的方法，二者是辩证统一的.（逻辑推理） 【教学重点】 掌握弧度与角度的互换 【教学难点】 弧度制的理解和应用 【教学过程】 一、创设问题情境，引出新知 问题1：角度和弧度都是角的度量单位，那么角度和弧度之间有什么关系？ 问题2：在单位圆中，圆的周长是2π，因此圆周角的弧度数是2π，而在角度下圆周角是360°，即360°=2π rad，请同学利用这个式子，推导出1°是多少弧度？1弧度等于多少度？ （1）由360°=2π rad 两边同时除以360得1°＝ rad ≈0.01745 rad； （2）由360°=2π rad 两边同时除以2π得1 rad＝≈57°18′ 问题3：我们推导出1°＝ rad，怎么利用这个式子将角度化为弧度呢？ 例如：90°=90×=，即角度化为弧度的方法是：角度的值× 问题4：我们推导出1 rad＝，怎么利用这个式子将弧度化为角度呢？ 例如=×=90°，即弧度化为角度的方法是：弧度的值× 二、抽象概括，得出弧度与角度互化的公式 1.弧度与角度的换算 （1）角度化为弧度的方法是：角度的值×； （2）弧度化为角度的方法是：弧度的值×. 三、典例剖析，理解弧度与角度的换算 课本P10例1 例1 （1）把45°化成弧度；（2）把－600°化成弧度. 例2 （1）把 化成度； （2）把－化成度. 【当堂训练】 1.将下表中的特殊角的角度和弧度进行互化. 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 弧度 π 2π 2. 下列各角与120°角终边相同的为(　　) A.－＋2kπ，k∈Z B. C.－＋2kπ，k∈Z D.＋(2k＋1)π，k∈Z 【答案】C　[因为120°＝，－＋2kπ＝＋(2k－4)π，k∈Z，所以120°与－＋2kπ，k∈Z，终边相同.] 注：终边相同的角的表示中，那么都用弧度制，那么都用角度制，不能混搭. 终边相同的角 (1)用角度制表示：S＝{β|β＝α＋k·360°,k∈Z},其中α，β是角度制下的角，且0°≤α＜360°； (2)用弧度制表示：S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z }，其中α，β是弧度制下的角，且0≤α＜2π； 四、迁移应用，推导出弧度之下的扇形的弧长和面积公式 2.弧度制的简单应用 在弧度制下证明下列关于扇形的公式： 设扇形的半径为r，弧长为l，扇形的面积为S，圆心角为α(0<α<2π)，则 （1）l＝|α|·r （2）S＝l·r＝|α|·r 2 证明：（1）在半径为r的圆中，若圆心角A为n°，则它对应的弧长l＝·2πr.又此时角A的弧度数α＝·2π，因此，l＝|α|r，即|α|＝.即圆心角的弧度数的绝对值等于该角所对的弧长与半径之比. （2）在半径为r的圆中，若圆心角A为n°的扇形的面积S＝·πr 2.又此角A的弧度数α＝·2π，因此，S=|α|·r 2，将|α|＝代入S=|α|·r 2得S＝l·r 3.扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α(0<α<2π)，则 度量单位类别 α为角度制 α为弧度制 扇形的弧长 l＝|α|·r 扇形的面积 S＝l·r＝|α|·r2 扇形的周长 C=2r+l 【当堂训练】课本P12练习第6、8题 6.分别用角度制、弧度制下的弧长公式,计算在半径为2 cm的圆中,60°的圆心角所对的弧的长度. 8.设扇形的弧长为18 cm,半径为12 cm,求这个扇形的面积. 4.弧度制的简单应用，加深对弧度制的理解 课本P11 如图1-13的模型： 单位圆M与数轴相切于原点O,把数轴看成一个“皮尺”.对于任意一个正数a,它对应正半轴上的点A,把线段OA按逆时针方向缠绕到圆M上,点A对应单位圆上点A',这样就得到一个以点M为顶点,以MO为始边,经过逆时针旋转以MA’为终边的圆心角α，该角的弧度数为整数a. 【思考交流】对于任意一个负数b,如何利用“皮尺”缠绕的方法,在上述的圆M中找到与弧度数为b相对应的圆心角β? 五、当堂检测题，加深对弧度制的理解和应用 1.(多选题)下列结论正确的是(　　) A. rad＝60°　　B.10°＝ rad C.36°＝ rad D. rad＝115° ABC　[ rad＝×＝112.5°.] 2.在半径为10的圆中，240°的圆心角所对的弧长为(　　) A.