3.1弧度概念（教学设计）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（北师大版2019必修第二册）

北师大版必修第二册第一章《三角函数》 《3.1弧度概念》教学设计 【教学目标】 1.理解弧度的意义，掌握1弧度的角的定义；（数学抽象、数学运算） 2.通过弧度制的学习，使学生体会相同的现象可以从不同的角度进行表示.（数学抽象） 【教学重点】 弧度制的定义 【教学难点】 弧度制的建立和应用 【素养要求】 通过弧度制的概念的学习，逐步培养数学抽象、数学运算的素养． 【教学过程】 一、创设问题情境，引出新知 在几何图形的学习中，我们知道线段的长度单位可以用米、分米、厘米等，面积的单位可以用，平方米、平方分米、平方厘米等，体积的单位可以用立方米、立方分米、立方厘米。长度、面积、体积等都是以单位线段为基础的。 （从学生熟悉的长度度量单位引出本节课学习的内容，角度是否有不同的度量单位） 思考1：现实生活中还有很多计量单位，如度量长度可以用米、分米、厘米、尺和码等不同的单位，那么度量角度的大小可以用哪些单位呢？ 对角的度量，选取一个周角，把它360等分而得到角的度量单位，用这个度量单位去度量其他角的大小.此时角的度量单位的确定与单位线段无关. 思考2：在这种角度单位的定义， 45°+tan45°如何运算呢？ tan45°=1是一个实数，一个实数与一个角度45°的和就不能进行运算了，因为我们需要进一步学习角度的其他单位，使得角度与实数能进行运算. 思考3：能否用线段的单位长度来建立角的度量单位，从而把角度的度量也建立在一个共同的基础（长度的度量）上呢？ 思考4：请同学们回顾初中是如何定义1°的？ 人们把周角的 叫做1°的角，以它为单位来度量角的大小的方法，叫做角度制. 1°的角的大小不因为圆的大小而改变，所以角度大小是一个与圆的半径无关的量. （教师启发学生回顾，从学生初中原有的知识出发，引导学生思考，初中关于1°的定义） 思考5： 如图，射线OA绕端点O旋转到OB形成角α．在旋转过程中，射线OA上的点P（不同于点O）的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角α．设α=n°，OP=r，点P所形成的圆弧的长为l．回忆初中所学知识，弧长l如何用圆心角α来表示？ 思考6：如图，在射线OA上任取一点Q（不同于点O和P），OQ=r1．在旋转过程中，点Q所形成的的圆弧长为l1，那么l1与r1的比值是多少？你能得出什么结论？ 圆心角α所对的弧长与半径的比值，与半径的大小无关，只与α的大小有关 这个比值随α的确定而唯一确定，因此可以利用圆的弧长和半径的比值度量圆心角． 二、抽象概括，得出概念 1.单位圆：半径为单位长度1的圆. 2.弧度与弧度制的定义 在单位圆中，把长度等于1的弧所对的圆心角称为1弧度的角，其单位用符号rad表示，读作弧度.在单位圆中，每一段弧的长度就是它所对圆心角的弧度数.这种以弧度作为单位来度量角的方法，称作弧度制. 三、典例剖析，理解概念 课本P9 （1）如图1-11，在单位圆中，的长等于1，弧长所对的圆心角是几弧度的角？ （2）如图1-12，的长等于2，弧长所对的圆心角是几弧度的角？ （教师引导学生利用弧度制的定义写出，的弧度数，感受弧度制的定义，并由此得出角的正负由角的终边旋转方向决定） （3）设半径为r的圆中, 长度为l的圆弧所对的圆心角的大小为α, 如何表示出圆心角α的弧度数. 在半径为r的圆中，若圆心角A为n°，则它对应的弧长l＝·2πr.又此时角A的弧度数α＝·2π，因此，l＝|α|r，即|α|＝ （教师引导结合弧度制的定义，用弧长和半径表示出圆心角的弧度数） 一般地，弧度数与实数一一对应，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数.零角的弧度数是0.弧度制确立了角的弧度数与实数的一一对应关系. 【当堂训练】 1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”. (1)1 rad的角和1°的角大小相等.(　×　) (2)用弧度来表示的角都是正角.(　×　) (3)1弧度的角的大小和所在圆的半径大小无关.(　√　) (4)一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于1弧度. (　×　) （因为1弧度的圆心角所对的弧长为半径，此时对应的弦长小于半径） 3.弧度制的再认识 1）1弧度的角与1°所指的含义不同，是角度不同的单位制； 2）角度制与弧度制为角的度量单位时，角度的大小都与半径的大小无关； 3）角度制的度“°”符号不能省略，弧度制中“弧度”二字或“rad”通常省略不写. 四、课堂小结，升华素养 五、布置作业，即时检测 1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”. (1)大圆中1弧度的角比小圆中1弧度的角大.(　×　) (2)圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等.(　×　) (3)“度”和“弧度”是度量角的两种不同的度量单位.(　√　) 2.角度制和弧度制都是角的单位