2.1角的概念推广（教学设计）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（北师大版2019必修第二册）

北师大版必修第二册第一章《三角函数》 《2.1角的概念推广》教学设计 【教学目标】 1.通过实例，理解角的概念推广的必要性，了解任意角的概念，能判断正角、负角和零角；（数学抽象、数学运算） 2.认识和领悟数学概念不断拓展的方法和意义，体会坐标系在角的研究中的重要作用.（直观想象） 【教学重点】 了解任意角的概念，掌握判断正角、负角和零角的方法 【教学难点】 对角的推广的理解 【教学过程】 一、实例分析，提出问题 （1）在初中角是如何定义的？角的范围是多少？ 初中角的定义：有公共端点的两条射线组成的几何图形叫做角，角的范围是0°～360°，其中锐角的范围是(0°,90°)，钝角的范围是(90°,180°)，平角是180°，周角是360° （2）在生活中，是否有角度超出初中所学习的角的范围呢？ ①跳水运动员在空中顺时针专题2周，那么运动员转过的角度怎么表示呢？ ②钟表的分针走过2分钟，秒针走过的角度怎么表示呢？ 这些角度的表示都超过了360°，本节课我们一起来学习角的概念的推广. （3）实例分析 在生活中，拧紧螺钉时，需要将扳手顺时针方向旋转；拧松螺钉时，需要将扳手逆时针方向旋转，可以旋转一周，也可以旋转多圈，在这个生活实例中，扳手旋转的角度超过了360°，角度有顺时针方向和逆时针方向旋转，为了描述这种现象，我们给这类角一个明确的定义 【问题1】刻画这类角，不仅要明确旋转了多大？还要明确什么？ 【问题2】我们借助生活中实际的例子感受到了角度具有不同方向的旋转，那么我们怎么用数学语言对角进行刻画呢？ 二、抽象概括，得出概念 1.角的概念： 平面内一条射线OA绕着它的端点O按箭头所示方向旋转到终止位置OB，形成角α.其中点O是角α的顶点，射线OA是角α的始边，射线OB是角α的终边. 【问题2】角的概念中，始边的旋转方向可以按什么方向旋转？ 2.角的分类：按旋转方向分：正角、负角、零角 角的分类 定义 图形 正角 按逆时针方向旋转形成的角 负角 按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角 【问题3】能类比“数”的正、负，表示出正角、负角和零角吗？ ①零角的始边和终边重合，若是α零角，则α=0°； ②若是α正角，则α>0° ③若是α负角，则α<0° ④如果一个角的终边沿逆时针或顺时针方向旋转360°的整数倍，那么所得新角的终边与原角的终边重合 3.概念再认识 1)当角的始边和终边确定后，这个角就被确定了吗？ 提示：不是的．虽然始、终边确定了，但旋转的方向和旋转量的大小(旋转圈数)并没有确定，所以角也就不能确定． 2)你能说出角的三要素吗？ 提示：角的三要素是顶点、始边、终边． 3)正角、负角、零角是根据什么区分的？ 提示：根据射线是否旋转及旋转方向区分． 4)钟面上经过1 h，时针转过的角是30°,对吗？ 提示：　错误，时针旋转方向是顺时针，所以是负角，正确答案是－30°. 5)小于90°的角是锐角，对吗？ 提示：错误，因为负角小于90°，但不是锐角. 三、典例剖析，理解概念 例1.请图1-5、图1-6中的角 解：图1中的角是750°的正角； 图2中的正角α=210°，负角β=－150°，负角γ=－660°. [方法总结]　由图写角： 1.用字母表示角时，可以用希腊字母α，β等表示，“角α”或“∠α”可以简化为“α”. 2.先确定旋转方向，然后确定旋转量，再明确射线围坐旋转时的位置，最后写出角度. 【当堂训练】写出下列各图中的角α，β，γ的度数. 解：确定好旋转的方向和旋转角的大小，由角的概念可知 α＝360°－30°＝330°，β＝－(360°－60°－150°)＝－150°，γ＝360°＋60°＋150°＝570°. 2．在平面直角坐标系中，已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角的终边. (1)； (2)； 解：(1) (2) [方法总结]　由角画图： 1. 在平面直角坐标系中，角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合； 2.由角的正负确定方向，再由角的大小确定旋转量，最后在平面直角坐标系中画出角度，并标出箭头. 3.用图示表示角时，箭头不能丢掉，因为箭头代表旋转的方向，即代表着角的正负. 四、迁移应用，掌握概念 1．将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 解：将时钟拨快20分钟，分针顺时针旋转，所以分针转过的度数为．故选：D. 2．射线绕端点逆时针旋转到达位置，由位置绕端点旋转到达位置，得，