4.4诱导公式与旋转（教学设计）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（北师大版2019必修第二册）

北师大版必修第二册第一章《三角函数》 《4.4诱导公式与旋转》教学设计 【教学目标】 1.能借助单位圆，通过终边的旋转和正弦函数、余弦函数的定义推导出诱导公式；（逻辑推理） 2.能运用诱导公式解决一些正弦函数、余弦函数的求值、化简、证明问题.（数学运算） 【教学重点】 1.正弦函数、余弦函数的诱导公式； 2.正弦函数、余弦函数的诱导公式的求值、化简. 【教学难点】 诱导公式的推导与运用. 【教学过程】 一、问题提出，创设情境 圆具有很好的对称性，借助圆能够直观解决很多三角函数的问题，利用圆的对称性，上节课，我们在单位圆上取点，并作出它关于原点，关于x轴，y轴的对称点的方式，再结合三角函数的定义，推导出了下面的诱导公式 （1）sin (－α)＝－sin α， cos (－α)＝cos α， （2）sin (α＋π)＝－sinα，sin (α－π)＝－sinα， （3）cos (α＋π)＝－cosα，cos (α－π)＝－cosα，sin (π－α)＝sinα，cos (π－α)＝－cosα. 下面我们将类比上节课探究的方法，继续探究三角函数的诱导公式. 二、合作探究，抽象概括 探究一.角α与α＋的正弦函数、余弦函数的关系 如图1-32，在平面直角坐标系中，设任意角α的终边与单位圆的交点为P，当点P沿逆(顺)时针方向旋转弧度至点P' 时，请同学们思考一下问题： （1）点P' 是哪个角的终边与单位圆的交点？ 点P'是α＋的终边与单位圆的交点 （2）设点P(u，v)，请写出P' 的坐标. 根据三角函数的定义，P' 的坐标是P' (－v，u) （3）根据正弦函数、余弦函数的定义，探究出角α与α＋的正弦函数、余弦函数的关系. cosα＝u ,sin (α＋)＝u，所以sin (α＋)＝cosα sin α＝v , cos (α＋)＝－v，所以cos (α＋)＝－sinα. 1.sin α，cos α与sin (α＋)，cos (α＋)的关系 sin (α＋)＝cosα，cos (α＋)＝－sinα. [提问] sin (α＋)＝cosα，cos (α＋)＝－sinα这组诱导公式，形式上有什么规律特征. α＋是第二象限的角，且π的分母是2，角(α＋)对于sin是正的，对于cos是负的，因此这组诱导公式规律是函数名改变，sin变成cos，cos变成sin，符号看象限. 【用一用】化简sin (＋α) 【分析】(＋α)是第二象限角，且对于sin是正的，且π的分母是2，诱导公式需改变函数名 解：sin (＋α) ＝cosα 探究二.角α与角α－的正弦函数、余弦函数的关系 如图1-33，在平面直角坐标系中，设任意角α的终边与单位圆的交点为P，角α－与单位圆的交点为点P' 时，请同学们思考一下问题： （1）设点P(u，v)，请写出P' 的坐标. 根据对称性，P' 的坐标是P' (v，－u) （2）根据正弦函数、余弦函数的定义，探究出角α与角α－的正弦函数、余弦函数的关系. cosα＝u, sin (α－)=－u,所以 sin (α－)＝－cosα， sin α＝v, cos (α－)＝v，所以cos (α－)＝sinα 2. sin α，cos α与sin (α－)，cos (α－)的关系 sin (α－)＝－cosα，cos (α－)＝sinα [提问] sin (α－)＝－cosα，cos (α－)＝sinα这组诱导公式，形式上有什么规律特征？ α－是第四象限的角，且π的分母是2，对于sin是负的，对于cos是正的，因此这组诱导公式规律是函数名改变，sin变成cos，cos变成sin.符号看象限. 【用一用】 1.已知cos α＝，则sin (α＋)等于(　　) A. B.－ C. D.－ 2.已知sin (＋α)＝，那么cos α等于(　　) A.－ B.－ C. D. 【分析】先观察角的特征，π的整数倍，不用改变函数名，π的分母是2需要改变函数名，符号都是看角所在的象限. 解：1.sin (α＋)＝cos α＝，选A 解：sin (＋α)＝cos α，故cos α＝，选C. 三角函数的诱导公式 sin (－α)＝－sin α， cos (－α)＝cos α， sin (α＋π)＝－sinα，sin (α－π)＝－sinα， cos (α＋π)＝－cosα，cos (α－π)＝－cosα sin (π－α)＝sinα，cos (π－α)＝－cosα sin (α＋)＝cosα，cos (α＋)＝－sinα sin (α－)＝－cosα，cos (α－)＝sinα 三角函数的诱导公式规律总结： 1.函数名是否改变：观察角的特征，π的整数倍，不用改变函数名，π的分母是2，需要改变函数名； 2.符号的