四川省成都市石室中学2023-2024学年高三下学期开学考试理科数学试卷

成都市石室中学2023-2024年度下期高2024届入学考试 数学试题（理） （总分：150分，时间：120分钟 ） 第Ⅰ卷（共60分） 1、 选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分） 1．已知全集，能表示集合与，关系的图是　　 A．B．C．D． 2.已知向量，，则在方向上投影为　　 A． B． C． D． 3．技术在我国已经进入高速发展的阶段，手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如表所示： 月份 1 2 3 4 5 销售量（千只） 0.5 0.8 1.0 1.2 1.5 若与线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是　　 A．由题中数据可知，变量与正相关，且相关系数 B．线性回归方程中 C．残差的最大值与最小值之和为0 D．可以预测时该商场手机销量约为1.72（千只） 4．方程表示双曲线的必要不充分条件可以是　　 A． B．，， C．D． 5．执行如图所示的程序框图，若依次输入，，，则输出的结果为　　 A． B． C． D．以上都不对 6．在中，角、、的对边分别为、、，且的面积，，则 A． B． C． D． 7. 设等差数列的前项和为，已知，，，则的值为　　 A．15 B．16 C．17 D．18 8．如图是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的高为　　 A．1 B．2 C． D． 9．抛物线的焦点为，准线为，，是抛物线上的两个动点，且满足，为线段的中点，设在上的射影为，则的最大值是　　 A． B． C． D． 10． 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，，且，点，分别为，的中点，在侧面上运动，且满足平面，以下命题错误的是　 A． B．多面体的体积为定值 C．侧面上存在点，使得 D．直线与直线所成的角可能为 11．已知直线与圆心为且半径为3的圆相交于，两点，直线与圆交于，两点，则四边形的面积的值最大是　　 A． B． C． D． 12．已知函数在区间上有且仅有4个极值点，给出下列四个结论： ①在区间上有且仅有3个不同的零点；②的最小正周期可能是； ③的取值范围是；④在区间上单调递增. 其中正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分） 13．若，则的共轭复数为_________ 14．在的展开式中，含的项的系数是__________ .（用数字作答） 15.已知为等腰三角形，其中，点D为边AC上一点，.以点B、D为焦点的椭圆E经过点A与C，则椭圆E的离心率的值为 . 16.若函数与的图像在实数集上有且只有3个交点，则实数的取值范围为 __________ . 三、解答题（本题共6道小题，共70分） 17.已知数列的首项为，且满足，数列满足． （Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）设数列的前项和为，求． 18.某企业有甲、乙、丙三个部门，其员工人数分别为6，9，12，员工隶属于甲部门．现在医务室通过血检进行一种流行疾病的检查，已知该种疾病随机抽取一人血检呈阳性的概率为，且每个人血检是否呈阳性相互独立． （Ⅰ）现采用分层抽样的方法从中抽取9人进行前期调查，求从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人，并求员工被抽到的概率； （Ⅱ）将甲部门的6名员工随机平均分成2组，先将每组的血样混在一起化验，若结果呈阴性，则可断定本组血样全部为阴性，不必再化验；若结果呈阳性，则本组中至少有一人呈阳性，再逐个化验．记为甲部门此次检查中血样化验的总次数，求的分布列和期望． 19．如图，已知梯形与所在平面垂直，，，，，，．，连接，． （Ⅰ）若为边上一点，，求证：平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值． 20．已知椭圆的离心率为，焦距为，过的左焦点的直线与相交于、两点，与直线相交于点． （Ⅰ）若，求证：； （Ⅱ）过点作直线的垂线与相交于、两点，与直线相交于点．求的最大值． 21．已知函数. （Ⅰ）若在区间上恒成立，求实数的取值范围； （Ⅱ）若函数和有公切线，求实数的取值范围. 22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程. （Ⅰ）求和的直角坐标方程； （Ⅱ），直线与交于两点，其中点在第一象限，求点的极坐标及点的极径. 23.已知函数，． （Ⅰ）求函数的最小值； （Ⅱ）设，求证：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 成都石室中学2023-2024年度下期高2024届入学考试理科答案 1、 选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分） 1．已知全集，能表示集合与，关系的图是　　 A．B．C．D． 【解答】解：全集，集合，1，，，， ，能表示集合，，关系的图是． 故选：． 2.已知向量，，