考点04 一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系-备考2024年中考数学一轮专题复习讲练（安徽专用）

考点四 一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系 知识点整合 一、一元二次方程根的判别式及根与系数关系 1．根的判别式 一元二次方程是否有实数根，由的符号来确定，我们把叫做一元二次方程根的判别式． 2．一元二次方程根的情况与判别式的关系 （1）当时，方程有两个不相等的实数根； （2）当时，方程有1个（两个相等的）实数根； （3）当时，方程没有实数根． 3．根与系数关系 对于一元二次方程（其中为常数，），设其两根分别为，，则，． 典例引领 1．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根： (2)若该方程的一个根为1，求的值及另一个根． 2．已知关于的一元二次方程 (1)若方程有两个不相等的实数根， 求k的取值范围 ． (2)若方程的一个根为，求k的值和方程的另一个根； 3．已知关于x的一元二次方程方程（m为常数），如果方程根的判别式的值为1，请求出m的值以及方程的根． 4．定义新运算“”：对于实数m，n，p，q，有，其中等式的右边是通常的加法和乘法运算．例如：． (1)求关于x的方程的根； (2)若关于x的方程有两个实数根，求k的取值范围． 5．法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：如果关于x的一元二次方程（，）的两个实数根分别为、，那么，．习惯上把这个结论称作“韦达定理”． (1)方程的两个实数根分别为、，求和的值． (2)方程的两个实数根分别为、，求的值． (3)若、为关于x的方程的两个实数根，求的最小值． 6．已知关于x的方程有两个实数根，其中． (1)若，求的值； (2)一次函数的图像上有两点，若，求m的值； (3)边长为整数的直角三角形，其中两直角边的长度恰好为和，求该直角三角形的面积． 7．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求a的取值范围； (2)若，且a为整数，求a的值． 8．关于的一元二次方程有一个根是，求的值和方程的另一个根． 9．求证：对于任意实数，关于的方程总有两个不相等的实数根． 10．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论实数m取何值，方程总有实数根； (2)当m取何值时，方程有两个相等的实数根？ 11．已知关于的一元二次方程：． (1)求证：这个方程总有两个实数根； (2)若等腰的一边长，另两边长、恰好是这个方程的两个实数根，求的周长． 12．关于x的一元二次方程． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根是2，试求的值． 13．已知关于x的方程． (1)试说明：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有一个根为3，求的值． 14．已知关于的一元二次方程． (1)若该方程有一个根是2，求该方程的另一个根； (2)求证：该方程总有两个实数根． 15．已知关于x的一元二次方程 (1)求证：该方程总有两个实数根 (2)如果该方程的两个实数根的差为4，求m的值 16．解方程； (1)； (2)． 17．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围． 18．定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程． (1)写出一个“凤凰”方程是______； (2)“凤凰”方程必定有一个根是______； (3)已知方程是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，求的值． 19．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个实数根； (2)若方程的两个根分别为，，且，求k的值． 20．设一元二次方程的两个根为，若该方程的一个根与另一个根的2倍的和为0，我们就称这个一元二次方程为“两根相反倍数”方程． (1)如果方程是“两根相反倍数”方程，则m=______； (2)如果方程是“两根相反倍数”方程，求的值． 21．已知关于x的一元二次方程． (1)如果此方程有两个相等的实数根，求m的值； (2)如果此方程的两个实数根为，，且满足，求m的值． 22．已知关于x的一元二次方程（k为常数）． (1)求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程有两个实数根，，且，求k的值． 变式拓展 1．关于的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程有一个根为，求此时的值． 2．已知关于的方程． (1)求证：方程总有实数根； (2)不论取何值，方程总有一个不变的根，求这个不变根． 3．定义：若一元二次方程满足．则称该方程为“和谐方程”． (1)下列属于和谐方程的是______； ①；②；③；④ (2)求证：和谐方程总有实数根； 4．定义：若是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程． (1)判断：方程______“差积方程”（填“是”或“不是”）； (2)已知关于的方程， ①证明：不论取何值，方程总有实数根； ②若该方程是“差积方程”，求的值