考点03 一元二次方程-备考2024年中考数学一轮专题复习讲练（安徽专用）

考点三 一元二次方程 知识整合 一、一元二次方程的概念 1．一元二次方程 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 2．一般形式 （其中为常数，），其中分别叫做二次项、一次项和常数项，分别称为二次项系数和一次项系数． 注意：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意，因为当时，不含有二次项，即不是一元二次方程； （2）一元二次方程必须具备三个条件： ①必须是整式方程； ②必须只含有一个未知数； ③所含未知数的最高次数是2． 二、一元二次方程的解法 1．直接开平方法 适合于或形式的方程． 2．配方法 （1）化二次项系数为1； （2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项； （3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方； （4）把方程整理成的形式； （5）运用直接开平方法解方程． 3．公式法 （1）把方程化为一般形式，即； （2）确定的值； （3）求出的值； （4）将的值代入即可． 4．因式分解法 基本思想是把方程化成的形式，可得或． 考向一 一元二次方程解法 典例引领 1．解下列方程： (1)； (2)． 2．解方程： (1)；（配方法） (2)；（公式法） (3)；（因式分解法） (4)．（选择适当的方法） 3．解方程： (1)； (2)． 4．用适当的方法解下列方程：． 5．提出问题： 为解方程，我们可以令，于是原方程可转化为，解此方程，得（不符合要求，舍去）． 当时，． 原方程的解为． 以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想． 解决问题：运用上述换元法解方程：． 6．换元法是数学中的一种解题方法．若我们把其中某些部分看成一个整体，用一个新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．如：解二元一次方程组，按常规思路解方程组计算量较大．可设，，那么方程组可化为，从而将方程组简单化，解出和的值后，再利用，解出和的值即可．用上面的思想方法解方程： (1)； (2) 7．解下列方程： (1)； (2)． 8．解方程： (1)； (2)． 9．解下列方程： (1)； (2) 10．解方程 (1) (2) 11．解下列方程： (1)（配方法） (2) 12．阅读材料：为解方程，我们可以将看作一个整体，设，则原方程可化为 ①，解得． 当时，，∴，∴． 当y＝4时，，，∴． 故原方程的解为，，，． 解答问题： (1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了降次的目的． (2)请利用以上知识解方程． 13．阅读材料：解方程时，我们可以将视为一个整体， 设，则，原方程化为，解此方程，得，． 当时，，，； 当时，，，． ∴原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，达到了降次转化为一元二次方程的目的．这一过程体现了数学整体思想和转化的思想． 类比应用：运用上述方法解方程：． 14．定义：若一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“平和数”．例如，5是“平和数”．理由：因为．再如，（，是整数），所以也是“平和数”． 解决问题： (1)请你再写一个小于5的“平和数”_____；判断29是否为“平和数”____（填“是”或“否”）； (2)若二次三项式（是整数）是“平和数”，可配方成（，为常数），则_____． (3)已知“平和数”（，是整数）的值为0，则的值为_____； (4)已知（，是整数，是常数），要使为“平和数”，请写出符合条件的的值_____； (5)已知实数，满足，求的最小值． 15．学习的本质是自学．周末，小睿同学在复习配方法后，他对代数式进行了配方，发现，小睿发现是一个非负数，即，他继续探索，利用不等式的基本性质得到，即，所以，他得出结论是的最小值是2，即的最小值是2．小睿同学又进行了尝试，发现求一个二次三项式的最值可以用配方法，他自己设计了两个题，请你解答． (1)求代数式的最小值． (2)求代数式的最值． 16．推理能力有助于形成实事求是的科学态度与理性精神．我们知道任何实数的平方一定是一个非负数，即：，且．据此，我们可以得到下面的推理： ∵，而 ∴，故有最小值，最小值是． 试根据以上方法判断代数式是否存在最大值或最小值？若有，请求出它的最大值或最小值． 变式拓展 1．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 2．选择适当的方法解下列方程 (1) (2) 3．解方程：． 4．解下列方程： (1)； (2)． 5．解下列方程： (1)； (2)． 6．解方程 (1) (2) 7．解一元二次方程： (1) (2) 8．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 9．解下列一元二次方程： (1)； (2)． 10．我们知道：； ，这一种方法称为配方法． 由此可得：， ， ∴当时，有最小值为； ， ∴当时，有最大值为25． 利用以上的方法解答下