2024年中考数学二轮专题复习：三角函数与圆的综合应用

本节重点、难点 本节重点：三角函数的定义及性质；圆中角的等量替换 本节难点：在圆中找直角，求线段时能够找直角进行作答求解 教学目标： 1、掌握三角函数的性质，能够在直角三角形中利用三角函数解直角三角形 2、能够运用圆的相关性质，对于所给题目条件进行求解作答。 圆与三角函数综合 【知识梳理】 想要使用锐角的三角函数值求线段长度，锐角得在直角三角形中；常见的构造直角的方法： 1-1 角与直径有关系：构造直径所对的圆周角 1-2 角为圆周角（边不包含直径）：利用同弧所对的圆周角相等，转化为与直径或与切线相关的圆周角（这一方法对于弦切角定理要求掌握熟悉） 2 角的两边与切线相关：运用弦切角定理，转为与直径相关的角 3 普通角：利用线段相等或平行线或相似三角形等方法，对于角度进行等量转化 4 给出的三角函数参考数值无法直接用： 通常考虑圆周角定理，进行角度的倍化或者分化 【例题精讲】 1（2022·河南·统考一模）如图，是以为直径的上一点，过点的切线交的延长线于点，过点作交的延长线于点，垂足为点． （1）求证：； （2）若的直径为9，．①求线段的长；②求线段的长． 1-2（围绕圆周角构造直径所对圆周角问题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD是⊙O的直径，AD，BC的延长线交于点E，延长CB交PA于点P，∠BAP+∠DCE＝90°． （1）求证：PA是⊙O的切线； （2）连接AC，sin∠BAC＝，BC＝2，AD的长为 　 　． 2-1（2022秋•卫滨区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，点O在AC边上，⊙O经过点C且与AB边相切于点E，∠FAC＝∠BDC． （1）求证：AF是⊙O的切线； （2）若BC＝6，sinB＝，求⊙O的半径及OD的长． 2-2．（2022·河南安阳·统考一模）如图，是的直径，点C在上，的平分线与相交于点D，交于点F，且经过圆外一点E，连，测得． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的半径． 2-3．如图，△AOB以O为圆心，OB为半径的圆交OA于点C，连接BC，过点O作OD∥BC交AB延长线于点D，∠AOB＝2∠ABC． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）若AB＝4，tan∠BCO＝2，求⊙O的半径． 3-1 （2022·河南·模拟预测）如图所示，Rt△ABC中∠ACB＝90°，斜边AB与⊙O相切于D，直线AC过点O并于⊙O相交于E、F两点，BC与DF交于点G，DH⊥AC于H． (1)求证：∠B＝2∠F； (2)若HE＝4，cosB＝，求DF的长． 4-1．如图1，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，O为底边BC的中点，过点O作OD⊥AB，垂足为D，以点O为圆心，OD为半径作圆，交BC于点M，N． （1）AB与⊙O的位置关系为 　 　； （2）求证：AC是⊙O的切线； （3）如图2，连接DM，DM＝4，∠A＝96°，求⊙O的直径．（结果保留小数点后一位．参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45） 【随堂精练】 1．（2022·河南信阳·统考一模）如图，点是以为直径的半圆上一动点，作半径的垂直平分线交于点，交于点，交切线于点． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若的半径是2，，求的长． 2．（2022·河南周口·九年级期末）如图，四边形内接于，，延长到点，使得，连接． （1）求证：； （2）若，，，求的值． 2-1．（2023·陕西渭南·统考二模）如图，为的直径，点、在上，连接、、、，交于点，过点作的切线，交的延长线于点，若．    (1)求证：； (2)若的半径为，，求的长． 2-2．如图，AB是△ABC外接圆的直径，圆心为点O，点C，D是圆上两点，且，连接CD交AB于点E．若tan∠CDB＝，求的值． 3．如图，点C在⊙O的直径AB的延长线上，点P是⊙O上任意一点，且满足∠BPC＝∠A． （1）求证：PC与⊙O相切． （2）若圆的半径为，tan∠BPC＝，求切线CP的长． 4．（2022·河南·模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为上一点，分别交DC，AB的延长线于点F，交CD于点P． (1)求证：EF＝FP； (2)连接AD，若ADFG ①CD＝8，cosF＝，则EG＝　 　． ②当∠F＝　 　°时，四边形ACOD是菱形． 【方法总结】 想要使用锐角的三角函数值求线段长度，锐角得在直角三角形中；常见的构造直角的方法： 1-2 角与直径有关系：构造直径所对的圆周角 1-3 角为圆周角（边不包含直径）：利用同弧所对的圆周角相等，转化为与直径或与切线相关的圆周角（这一方法