8.4 向量的应用（1）-同步 配套练习（6基本题4提高题2创新题）-2023-2024学年高一数学下学期同步教材【知识解读·题型梳理·配套训练】（沪教版2020必修第二册）

【原卷版】 8.4 向量的应用（1） 班级 姓名 在现实世界和科学问题中，常常会见到既有大小又有方向的量，如位移、速度、力等；数学中的“向量”概念就是从中抽象出来的；向量不仅有丰富的几何内涵，向量及其线性运算与数量积运算还构成了精致且有广泛应用的代数结构，可把有关的几何问题简便地转化为相应代数问题来处理；本章只讨论平面上的向量，选择性必修课程第3章还将把这一讨论推广到（三维）空间中，至于更一般性的推广则是大学线性代数课程的核心内容；高中阶段向量的学习重在为解决代数、几何、三角及物理等领域中的问题提供一个简捷有效的工具； 【本章教材目录】 第8章 平面向量 8.1 向量的概念和线性运算 8.2 向量的数量积 8.2.1向量的投影；8.2.2向量的数量积的定义与运算律 8.3 向量的坐标表示 8.3.1向量基本定理；8.3.2向量正交分解与坐标表示；8.3.3向量线性运算的坐标表示；8.3.4向量数量积与夹角的坐标表示 8.4 向量的应用 考点一 线段的定比分点坐标公式 定比分点坐标公式： 若点，，为实数，且，则点的坐标为（），我们称为点P分所成的比； 提示：由结合向量的坐标表示与相等，推导得 1、其中：定比分点坐标公式() 2、点分所成的比与点分所成的比是两个不同的比，要注意方向 3、点的位置与λ的范围的关系： ①当时，与同向共线，这时称点为的内分点 特别地，当时，有＝，即点是线段之中点，其坐标为； ②当λ＜０()时，与反向共线，这时称点为的外分点； 考点二 向量在平面几何中常见的应用 ， （1）求线段长度或证明线段相等，用向量的模长公式： ， 例如证明,只要证明或. （2）证明直线或线段平行，用向量共线定理： （3）证明三点共线：要证明三点共线，只要证明存在实数，使得或或； 即利用向量共线定理先说明共线，而后说明有一个公共点即可. （4）证明直线或线段垂直，常用向量垂直的条件： . 例如证明，只要证明. （5）求夹角问题，利用夹角公式： ； 考点三 向量在物理中的应用 （1）向量与力 向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有，但是力的三要素是大小，方向和作用点，所以用向量解决力的问题，通常要把向量平移到同一作用点上. （2）向量与速度，加速度及位移 速度，加速度及位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成. （3）向量与功，动量 力做的功是力在物体前进的方向上的力与物体位移的乘积，实质是表示力和位移的两个向量的数量积，，动量实际上是数乘向量； 1、在△ABC中，AB＝3，AC边上的中线BD＝，·＝5，则AC的长为 【提示】； 【答案】； 【解析】； 【说明】本题考查了三角形的几何性质与向量线性运算的交汇，以及向量的模的求法； 2、若为单位向量，＝3，＝5，且||＝||，则四边形ABCD的形状为________． 【说明】本题考查了向量平行与判别梯形的交汇； 3、如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED＝________． 【说明】对于题设中有“垂直”关系的平面几何的位置与长度问题；可以考虑建系或确定基向量，转化为向量运算进行解决，然后，根据题意回答； 用向量方法解决平面几何问题的步骤： 1、建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； 2、通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； 3、把运算结果“翻译”成几何关系． 【特别注意】向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性．因此，用向量解决平面几何问题，就是将几何的证明问题转化为向量的运算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作． 4、已知A，B是圆心为C，半径为的圆上的两点，且|AB|＝，则·＝________． 【说明】本题主要借助圆的几何性质，挖掘向量的夹角，方便向量的数量积运算； 5、在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，则BC边的中线AD的长是（ ） A．2 B． C．3 D． 【说明】本题考查了中点公式与模长公式； 6、在△ABC中，若(＋)·(－)＝0，则△ABC（ ） A．是正三角形 B．是直角三角形 C．是等腰三角形 D．形状无法确定 【说明】本题考查了向量数量积的运算律；当然，也可以考虑向量的线性运算的几何意义进行判别； 7、已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，