8.3.3 向量线性运算的坐标表示-同步 配套练习（6基本题4提高题2创新题）-2023-2024学年高一数学下学期同步教材【知识解读·题型梳理·配套训练】（沪教版2020必修第二册）

【原卷版】 8.3.3 向量线性运算的坐标表示 班级 姓名 在现实世界和科学问题中，常常会见到既有大小又有方向的量，如位移、速度、力等；数学中的“向量”概念就是从中抽象出来的；向量不仅有丰富的几何内涵，向量及其线性运算与数量积运算还构成了精致且有广泛应用的代数结构，可把有关的几何问题简便地转化为相应代数问题来处理；本章只讨论平面上的向量，选择性必修课程第3章还将把这一讨论推广到（三维）空间中，至于更一般性的推广则是大学线性代数课程的核心内容；高中阶段向量的学习重在为解决代数、几何、三角及物理等领域中的问题提供一个简捷有效的工具； 【本章教材目录】 第8章 平面向量 8.1 向量的概念和线性运算 8.2 向量的数量积 8.2.1向量的投影；8.2.2向量的数量积的定义与运算律 8.3 向量的坐标表示 8.3.1向量基本定理；8.3.2向量正交分解与坐标表示；8.3.3向量线性运算的坐标表示；8.3.4向量数量积与夹角的坐标表示 8.4 向量的应用 考点一 向量线性运算的坐标表示 设，，则 ①； ②； ③ 注：① 两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差； ② 数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积； 考点二 向量模的 坐标表示 考点三 向量 的坐标表示 坐标含义：若，， 则向量； 即：一个向量的坐标等于向量的终点的坐标减去始点的坐标； 1、已知＝(1，1)，＝(1，－1)，则－等于 【说明】本题考查了平面向量的坐标运算； 2、知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝ 3、设＝(1，0)，＝(0，1)，＝3＋4，＝－＋，则＋与－的坐标分别为________． 4、已知点M(5，－6)，且＝(－3，6)，则N点的坐标为________. 【说明】综上例题，一般向量坐标运算的方法：1、在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据两个向量的和、差运算法则进行计算；2、在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标；3、求一个点的坐标，可以转化为求以原点为起点，该点为终点的向量的坐标； 7、已知向量＝(1，2)，＝(3，1)，则等于（ ） A．(－2，1) B．(2，－1) C．(2，0) D．(4，3) 【说明】本题考查了向量线性运算的坐标表示； 6、已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量等于（ ） A．(－7，－4) B．(7，4) C．(－1，4) D．(1，4) 【说明】本题考查了平面向量坐标运算的技巧：1、若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行；2、若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算； 7、已知M(－2,7)，N(10，－2)，点P是线段MN上的点，且＝，则P点的坐标为 8、已知点A(2,1)，B(－2,3)，且＝，则点C的坐标为 【说明】本题考查了利用平面向量的坐标运算求点的坐标；归纳： 1、向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据．向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化； 2、要区分向量终点的坐标与向量的坐标．由于向量的起点可以任意选取，如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点，则向量的终点坐标不是向量的坐标，若A(xA，yA)，B(xB，yB)，则＝(xB－xA，yB－yA)； 3、向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差，数乘向量的坐标等于这个实数与原来向量坐标的积； 9、已知两点A(4，1)，B(7，－3)，则与向量同向的单位向量是 【说明】本题考查了利用平面向量的坐标运算求向量的同向单位向量的坐标； 10、已知向量＝(2，1)，＝(3，4)，＝(1，m)，若实数λ满足＋＝λ，则λ＋m等于(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 【说明】本题考查了利用平面向量的坐标运算求参数； 11、已知A(2,3)，B(1,4)，且＝(sin α，cos β)，α，β∈，则α＋β＝________. 【说明】本题考查了利用平面向量的坐标运算求参数与三角比求角的交汇； 12、已知点A（1，2）