6.3.5 平面向量数量积的坐标表示（题型专练）数学人教A版必修第二册

6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 （答案版） 题型一：数量积的坐标表示 1.C 2．D 3．ABC 4.BD 题型二：数量积的运算律、数量积的坐标表示 1.BCD 2．BCD 3.ABC 4.ABD 题型三：数量积的坐标表示、坐标计算向量的模 1.AD 2．ABD 3.ABD 4.AD 题型一：向量模的坐标表示 1.ABD 2．ACD 3．AB 4.AB 题型二：垂直关系的向量表示、向量模的坐标表示 1.ABD 2．ABD 3．ABD 4.ACD 1.CD 2．BC 3．BD 4.BC 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.3.5平面向量数量积的坐标表示 基础达标题 题型一：数量积的坐标表示 1.(25-26高三上安徽期末)已知向量ā=(-1,1)，6=(x,-2,若ā1(2a-),则 |a+=() A.22 B.5 C.5 D.8 2.（25-26高三上·福建泉州·月考)已知平面向量a=(2,4),b=(2,1),则向量a在 向量a+2b上的投影向量的坐标为() 5√5 A 3’3 B.(2√5,2V5) C.(25,5) D.(3,3) 3.(多选题)(2026高三上·陕西咸阳·专题练习)已知向量AB=(1,-1),向量 AC=(3,5),则下列向量中与向量BC不垂直的有() A.a=-3,4 B.b=(8,-3 c-( D.a-原 4.(多选题)(25-26高二上·宁夏吴忠·月考)已知向量a=(x,3),b=(5,2,则下列 说法正确的有() A.若an6,则x=-15 B.若aL6,则x=号 C.若a=5,则x=4 D.若x=3,则a.b=21 题型二：数量积的运算律、数量积的坐标表示 1.(多选题)(25-26高二上·广东揭阳月考)己知向量 =(cosa,-sina),i=(cosB,sin B),( A.若m/m,则a+B=2 kr(keZ)B.m2+n2=2 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.i~i=cos(a+β) D.+s2 2.(多选题)(25-26高三上·吉林延边·期中)下列说法正确的是() A.若ā=(1,2)，b=(1,-1,且a与ā+b的夹角为锐角，则2的取值范围是 (-0,5) B.已知向量a=(2,m),向量b=(m+1,),且a与方向相反，若向量c=(2,, 则a在上的授影向量为（引 C.已知向量a=(1,v3,万=(cos0,sin0),若0≤0≤π，则a的取值范围为 【-1,2 D.若O是ABC的外心，AB=3,AC=5,OA.BC的值为-8 3.(多选题)(25-26高三上·黑龙江·期中)已知平面向量a,6,c满足ā6=b·c,则 下列结论错误的是() A.b=0 B.a=c C.(a-c)//b D.(a-c).b=0 4.(多选题)(25-26高三上·黑龙江哈尔滨·月考)已知ABC是边长为3的等边三 角形，BC=3BD,AD=2A正，则下列说法正确的是() A.BE=-24B+1AC 3 B.C正AD=-2 5 C.AE.AB=4 D.若点P是AC边上的动点，则PCPD的最小值为} 题型三：数量积的坐标表示、坐标计算向量的模 1.(多选题)（2025高三上·安徽六安.专题练习)已知向量ā=(1,2)， b=m,1(m<0),且向量五满足b·ā+=3，则() A.=2 B.向量2a-b与a-2b垂直 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 c.(2a+b)/1(a+2b) D.向量ā在五方向上的投影向量为 (别 2.(多选题)(25-26高三上·西藏拉萨.月考)已知向量ā=(m,1),b=(-1,m), c=(1,,则() A.Hm∈R,a⊥b B.3meR,使得a∥c C.3meR,使得6，)= D.meR,使得a+i+d=5 3.(多选题)(2025广东·模拟预测)已知向量 a=(cosa,sinB),b=(cosB,sina),c=(cos(a-B),-l),则下列说法正确的是() A.若a+B-7,则a16 B.c2=1+(ab)2 C.ac=b.c D.2+b2=2 4.(多选题)(25-26高三上·重庆·月考)已知向量a=(cos0,sin0),b=(-3,4),则() A若a6,则am0= B.若a1方，则sim6= C.a-的最大值为20 D.若a-(a-)=0,则a-=2v6 B 能力提升题 题型一：向量模的坐标表示 1.(多选题)(25-26高三上·河北月考)已知向量a=(m,-3),b=(2,n),则下列结论 正确的是() A.若a+b=(5,4),则m+n=10 B.若a.b=5,则2m-3n=5 C.若1a=5,则m=4 D.若a/乃，则mn+6=0 2.(多选题)(24-25高一下广西南宁·月考)己知ā=(2,0)，6=1，√5)，则（) 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.1b=2 B.a.(a-b)=0 C.5a+i的夹角余弦值为 D.向量在向量方向上的投影向量坐 标为1,0) 3.(多选题)(24-25高一下·新疆乌鲁木齐·月考)已知向量ā=(2，-1)，b=(1,m),则 () A.同=同的充要条件是m=±2 B.a/历的充要条件是m=月 C.a1的充要条件是m=2 1 D.若a与的夹角为锐角，则m的取值范围是(-o,2) 4.(多选题)(24-25高一下-陕西咸阳·期中)已知向量a=1,-2),=4日，a〃i, 则五可能是() A.4,-8 B.2,-4) C.-4,-8) D.（-4,8 题型二：垂直关系的向量表示、向量模的坐标表示 1.(多选题)(24-25高一下.贵州毕节·期末)已知A(-2,1,B(1,2),C(0,5), D(-3,4),则() A.4C=2V5 B.BD⊥AC C.AC与AB的夹角为60° D.AB//CD 2.(多选题)（25-26高三上河北秦皇岛·月考)已知平面向量a=(3,m),b=(n-2,1) ,则() A.当a⊥b时，m+3n=6 B.当a6=2时，i+m的最小值为号 C.当d=园时，n≥22+2 D.当d=2时，(n-22>m 3.(多选题)(25-26高二上江苏南京·月考)己知向量a=(4,0),b=(2,2),则 下列结论正确的是() 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.(a+b⊥b B.ldl=o C.与的夹角为 D.a在b方向上的投影向量为-2，-2】 4.(多选题)(25-26高三上·重庆期中)已知平面向量a,五满足ā=(1,2)，=1， a-=5,则() 4a6-月 B。a与确夹角的余滋值为启 C.（-2a+36)16 D.在a上的投影有量的坐标为品引 拓展培优题 1.(多选题)(2025高三·全国.专题练习)（多选）设向量ā=(2,0)，b=(1,1,则() A.a= B.(a-)116 c.(a-)16 D.a与的夹角为号 2.(多选题)（25-26高二上·黑龙江·开学考试)已知向量a=(-3,1),b=(4,2),则 () A.(2a+b)/6 B.a C.a与的夹角为双 D.a在方向上的投影向量的坐标为 (-1,-2) 3.(多选题)（2025高三·全国.专题练习)已知向量ā=(m-1,1),6=(2,m),则下列 选项错误的有() A.若m=-1,则1a=b B.若m=1,则ā，b的夹角为60 C.若a16,则m= D.若a,b共线，则m=2 3 4.(多选题)（24-25高一下·陕西商洛·期中)己知向量ā=(1，-2)，6=(-1，m),则() A.若a与垂直，则m-月 B.若a/仍，则a.6的值为一5 C.若m=2,则a-=25 D.若m=-2,则a与的夹角为60° 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 题型一：数量积的坐标表示 1.（25-26高三上·安徽·期末）已知向量，，若，则（   ） A． B．5 C． D．8 【答案】C 【知识点】数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示 【分析】先根据向量垂直和向量数量积的坐标表示求出，进而根据向量的模的公式求出结果. 【详解】因为向量，，所以. 由于，所以， 所以，解得. 所以，所以. 故选：C. 2.（25-26高三上·福建泉州·月考）已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、求投影向量 【分析】利用投影向量的计算公式结合向量数量积的坐标公式计算即可． 【详解】由，，可得， ，且， 则，， 则向量在向量上的投影向量为： ， 故向量在向量上的投影向量的坐标为. 故选：D. 3.（多选题）（2026高三上·陕西咸阳·专题练习）已知向量，向量，则下列向量中与向量不垂直的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】数量积的坐标表示、向量垂直的坐标表示 【分析】利用平面向量的减法法则求出，再利用平面向量垂直的坐标表示逐个判断选项即可. 【详解】由平面向量的减法法则得， 对于A，由题意得， 则与不垂直，故A正确， 对于B，由题意得， 则与不垂直，故B正确， 对于C，由题意得， 则与不垂直，故C正确， 对于D，由题意得， 则与垂直，故D错误. 故选：ABC 4.（多选题）（25-26高二上·宁夏吴忠·月考）已知向量，，则下列说法正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【知识点】由向量共线（平行）求参数、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、利用向量垂直求参数 【分析】对于A B，根据向量平行、垂直的坐标关系列方程即可求解；对于C，根据模的定义列方程可求解；对于D，根据数量积的坐标运算求解即可. 【详解】对于A，若，则，解得，故A错误； 对于B，若，则，解得，故B正确； 对于C，若，则，解得，故C错误； 对于D，若，则，所以，故D正确. 故选：BD. 题型二：数量积的运算律、数量积的坐标表示 1.（多选题）（25-26高二上·广东揭阳·月考）已知向量，则（   ） A．若，则 B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】逆用和、差角的正弦公式化简、求值、由向量共线（平行）求参数、数量积的运算律、数量积的坐标表示 【分析】A选项，根据向量平行得到方程，结合三角恒等变换得，，A错误；B选项，由模长公式进行求解；C选项，由向量数量积坐标公式和三角恒等变换得到C正确；D选项，平方得到，从而得到. 【详解】对于A，由，可得，则，故A错误； 对于B，故，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，， 当且仅当，即时，等号成立，故，故D正确. 故选：BCD 2.（多选题）（25-26高三上·吉林延边·期中）下列说法正确的是（   ） A．若，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是 B．已知向量，向量，且与方向相反，若向量，则在上的投影向量为 C．已知向量，，若，则的取值范围为 D．若是的外心，，，的值为 【答案】BCD 【知识点】由向量共线（平行）求参数、数量积的运算律、数量积的坐标表示、求投影向量 【分析】由向量坐标得到数量积，由题意得不等式，然后解得的取值范围，注意，判断A选项；设使得，解出的值，然后由投影向量得到结果判断B选项；由向量坐标得到数量积，由三角恒等变换化简整理后由范围求得数量积取值范围，判断C选项；由三角形外心可得关系，然后列出，通过二倍角公式，正弦定理，余弦定理化简数量积，判断D选项. 【详解】对于A，，由题意可知，则， 但当时，与的夹角为不为锐角，所以，A选项错误； 对于B，∵与方向相反，则存在使得，， 即，解得或， 当时，（舍去），所以，即， 所以在上的投影向量，B选项正确； 对于C，，，∴， ∴，C选项正确； 对于D，设，， ∴， ∵ 由正弦定理可知， ，， ∴， ∵， 由余弦定理，， ∴， D选项正确. 故选：BCD. 3.（多选题）（25-26高三上·黑龙江·期中）已知平面向量满足，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、数量积的运算律、数量积的坐标表示 【分析】通过反例可说明ABC错误；根据向量数量积的运算律可知D正确. 【详解】对于A，若，，，则，此时，A错误； 对于B，若，，则，B错误； 对于C，若，，，则， 此时，与不平行，C错误； 对于D，，，D正确. 故选：ABC. 4.（多选题）（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·月考）已知是边长为3的等边三角形，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．若点是边上的动点，则的最小值为 【答案】ABD 【知识点】用基底表示向量、数量积的运算律、数量积的坐标表示 【分析】以中点为坐标原点，以，所在直线建立平面直角坐标系，然后利用向量的坐标运算即可对A、B、C判断求解；设，，可求得，从而可得，即可对D判断求解. 【详解】以中点为坐标原点，以，所在直线建立平面直角坐标系，如图， 则，，，， 由，，可得，， A：，，故A正确； B：，， 则，故B正确； C：，， 则，故C错误； D：设，，可得， 则，， 所以， 又因为，所以当时取得最小值，故D正确. 故选：ABD.    题型三：数量积的坐标表示、坐标计算向量的模 1.（多选题）（2025高三上·安徽六安·专题练习）已知向量，，且向量满足，则（    ） A． B．向量与垂直 C． D．向量在方向上的投影向量为 【答案】AD 【知识点】数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示、求投影向量 【分析】先根据向量的数量积的坐标表示求出，然后根据向量的模的公式、向量垂直的坐标表示、向量平行的坐标表示以及投影向量的公式逐项计算判断即可. 【详解】向量，，则， ∵向量满足，∴，解得或， 又因为，所以，所以， 对于A，，故A正确； 对于B，，所以，故B错误； 对于C，，由于，所以不平行，故C错误； 对于D，向量在方向上的投影向量为，故D对． 故选：AD． 2.（多选题）（25-26高三上·西藏拉萨·月考）已知向量，，，则（    ） A．， B．，使得 C．，使得 D．，使得 【答案】ABD 【知识点】由向量共线（平行）求参数、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示 【分析】根据向量垂直的坐标表示判断A；根据向量平行的坐标表示判断B；利用向量夹角的坐标运算判断C；利用向量线性坐标运算及模的坐标运算求解判断D. 【详解】对于A，向量，，则，即，，可知A正确； 对于B，， ，若，可得，即，所以时，，因此B正确； 对于C， ，，则，得， 平方化简得，此时，显然矛盾，所以不存在，使得，因此C错误； 对于D，若向量，，，则，可得； 当时，，平方化简得，因为，所以方程有解， 即，使得，因此D正确. 故选：ABD 3.（多选题）（2025·广东·模拟预测）已知向量，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】二倍角的正弦公式、由坐标判断向量是否共线、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模 【分析】当时，验证是否成立，即可判断A；根据平面向量数量积的坐标表示，验证是否成立，即可判断B；取，验证是否成立，即可判断C；验证是否成立，即可判断D. 【详解】若，则 ，所以，故A正确； 因为，而， 所以，故B正确； 取，则，此时， ，故C错误； 因为，故D正确. 故选：ABD. 4.（多选题）（25-26高三上·重庆·月考）已知向量，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．的最大值为 D．若，则 【答案】AD 【知识点】由向量共线（平行）求参数、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示 【分析】利用平面向量共线的坐标运算可判断A，利用垂直的坐标运算可判断B，利用模的坐标运算可判断C，利用数量积的坐标运算可判断D. 【详解】由向量，，则，故A正确； 由向量，，则， 又因为，即，故B错误； 由向量，则 ，故C错误； 由向量， 可得， 而，故D正确； 故选：AD. 题型一：向量模的坐标表示 1.（多选题）（25-26高三上·河北·月考）已知向量，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数、数量积的坐标表示、向量模的坐标表示 【分析】根据向量的坐标运算可判断A；根据数量积的坐标表示可判断B；根据向量模的计算公式可判断C；根据向量平行的坐标表示可判断D. 【详解】对于A，由题意知向量， 由，得，解得，则，A正确. 对于B，由，得，B正确. 对于C，由，得，解得，C错误. 对于D。由，得，即，D正确. 故选：ABD 2.（多选题）（24-25高一下·广西南宁·月考）已知，则（   ） A． B． C．与的夹角余弦值为 D．向量在向量方向上的投影向量坐标为 【答案】ACD 【知识点】求投影向量、向量模的坐标表示、数量积的坐标表示、向量夹角的计算 【分析】根据给定条件，利用向量线性运算、数量积的坐标表示，逐项求解判断. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，，B错误； 对于C，，，， 则，C正确； 对于D，向量在向量方向上的投影向量，D正确. 故选：ACD 3.（多选题）（24-25高一下·新疆乌鲁木齐·月考）已知向量，则（    ） A．的充要条件是 B．的充要条件是 C．的充要条件是 D．若与的夹角为锐角，则的取值范围是 【答案】AB 【知识点】向量模的坐标表示、数量积的坐标表示、向量夹角的计算、由向量共线（平行）求参数 【分析】对于A，利用向量模长的坐标公式及充要条件的判断方法，即可求解；对于B，利用向量共线的坐标运算及充要条件的判断方法，即可求解；对于C，利用向量垂直的坐标运算及充要条件的判断方法，即可求解；对于D，利用向量夹角公式及夹角范围，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，，由，得到，解得， 又时，，则，所以的充要条件是，故选项A正确， 对于选项B，由，得到，解得， 又时，，所以，则的充要条件是，故选项B正确， 对于选项C，因为，所以选项C错误， 对于选项D，因为，又，若与的夹角为锐角， 则，且与不共线，由选项B知时，，所以选项D错误， 故选：AB. 4.（多选题）（24-25高一下·陕西咸阳·期中）已知向量，，，则可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】向量模的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】设，由向量模长的坐标运算可构造方程求得，由此即可求解. 【详解】∵，∴设，∴. ∵，∴，即，解得. ∴或. 故选：AD. 题型二：垂直关系的向量表示、向量模的坐标表示 1.（多选题）（24-25高一下·贵州毕节·期末）已知，，，，则（   ） A． B． C．与的夹角为 D． 【答案】ABD 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、向量夹角的计算、垂直关系的向量表示、向量模的坐标表示 【分析】根据向量模长公式，数量积与夹角公式及向量共线定理直接判断即可. 【详解】由已知，，，， 则，，，， ，A选项正确； ，即，B选项正确； ，即向量与的夹角为，C选项错误； ，即，D选项正确； 故选：ABD. 2.（多选题）（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）已知平面向量，则（   ） A．当时， B．当时，的最小值为 C．当时， D．当时， 【答案】ABD 【知识点】数量积的运算律、垂直关系的向量表示、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模 【分析】利用向量垂直的坐标表示可判定A，利用向量数量积的坐标表示结合二次函数计算可判定B，利用向量模长的坐标表示及一元二次不等式的计算、结合消元法可判定C、D. 【详解】对于A，当时，，即，故A正确； 对于B，当时，即， 所以， 当且仅当时取得等号，故B正确； 对于C，当时，则，所以， 解之得或，故C错误； 对于D，当时，则，所以， 而，则，故D正确. 故选：ABD 3.（多选题）（25-26高二上·江苏南京·月考）已知向量，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．与的夹角为 D．在方向上的投影向量为 【答案】ABD 【知识点】坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示、向量夹角的坐标表示、求投影向量 【分析】利用数量积的坐标运算求得，即可判断B；代入向量夹角的余弦公式求夹角判断C；由投影向量定义计算求解即可判断D，对于A，先求出的坐标，然后由垂直关系的向量表示即可判断A. 【详解】因为，， 所以， 所以向量与的夹角的余弦值为， 因为，所以向量与的夹角为，， 向量在方向上的投影向量为， ，所以，所以， 故ABD正确；C错误. 故选：ABD 4.（多选题）（25-26高三上·重庆·期中）已知平面向量，满足，，，则（    ） A． B．与的夹角的余弦值为 C． D．在上的投影向量的坐标为 【答案】ACD 【知识点】向量夹角的计算、垂直关系的向量表示、向量模的坐标表示、求投影向量 【分析】对于AB，结合题干条件，利用向量的模长公式以及数量积的运算律求得，代入夹角公式即可求解余弦值；对于C，由向量垂直的充要条件即可判断；对于D，由投影向量的定义即可求解. 【详解】对于AB，因为，所以，又，， 所以，所以， 所以向量与的夹角的余弦值为，故A正确；B错误； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，在上的投影向量的坐标为，故D正确. 故选：ACD 1.（多选题）（2025高三·全国·专题练习）（多选）设向量则（     ） A． B． C． D．与的夹角为 【答案】CD 【知识点】由坐标判断向量是否共线、坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示、向量夹角的坐标表示 【分析】根据模长公式可判断A选项；根据向量共线和垂直的性质判断B、C选项；根据夹角公式可判断D选项. 【详解】对于选项A，因为， 所以， 所以 ，故A错误； 对于选项B，因为所以， 所以与不平行，故B错误； 对于选项C，因为，所以，故C正确； 对于选项D，因为 ，又， 所以与的夹角为 ，故D正确. 故选：CD. 2.（多选题）（25-26高二上·黑龙江·开学考试）已知向量，，则（   ） A． B． C．与的夹角为 D．在方向上的投影向量的坐标为 【答案】BC 【知识点】由坐标判断向量是否共线、坐标计算向量的模、向量夹角的坐标表示、求投影向量 【分析】应用向量线性关系的坐标运算及共线的坐标表示判断A；由向量模长、夹角的坐标运算判断B、C；根据投影向量的定义及坐标运算求投影向量判断D. 【详解】由题知，显然，即与不平行，A错误， ，，因此，B正确； 设与的夹角为，则，且， 因此与的夹角为，C正确； 在方向上的投影向量为，D错误． 故选：BC 3.（多选题）（2025高三·全国·专题练习）已知向量，则下列选项错误的有（    ） A．若，则 B．若，则的夹角为 C．若，则 D．若共线，则 【答案】BD 【知识点】由向量共线（平行）求参数、坐标计算向量的模、利用向量垂直求参数、向量夹角的坐标表示 【分析】A应用向量模长的坐标运算判断；B由向量夹角的坐标运算判断；C由向量垂直的坐标表示列方程求参数判断；D由向量平行的坐标表示列方程求参数判断. 【详解】对于A，当时，，，A正确； 对于B，当时，，则，B错误； 对于C，因为，所以，解得，C正确； 对于D，因为共线，所以，解得或，D错误． 故选：BD 4.（多选题）（24-25高一下·陕西商洛·期中）已知向量，则（    ） A．若与垂直，则 B．若，则的值为－5 C．若，则 D．若，则与的夹角为60° 【答案】BC 【知识点】已知向量垂直求参数、向量夹角的坐标表示、坐标计算向量的模、数量积的坐标表示 【分析】根据向量运算的坐标表示方法，解答各选项问题，判断选项结果正误. 【详解】若，则，可得解得，所以A错误. 若,则,解得,,所以B正确. 当时,,则,所以C正确. 若，则,可知,所以D错误. 故选:BC. 学科网（北京）股份有限公司 $