8.3.2 向量的正交分解与坐标表示-同步 配套练习（6基本题4提高题2创新题）-2023-2024学年高一数学下学期同步教材【知识解读·题型梳理·配套训练】（沪教版2020必修第二册）

【原卷版】 8.3.2 向量的正交分解与坐标表示 班级 姓名 在现实世界和科学问题中，常常会见到既有大小又有方向的量，如位移、速度、力等；数学中的“向量”概念就是从中抽象出来的；向量不仅有丰富的几何内涵，向量及其线性运算与数量积运算还构成了精致且有广泛应用的代数结构，可把有关的几何问题简便地转化为相应代数问题来处理；本章只讨论平面上的向量，选择性必修课程第3章还将把这一讨论推广到（三维）空间中，至于更一般性的推广则是大学线性代数课程的核心内容；高中阶段向量的学习重在为解决代数、几何、三角及物理等领域中的问题提供一个简捷有效的工具； 【本章教材目录】 第8章 平面向量 8.1 向量的概念和线性运算 8.2 向量的数量积 8.2.1向量的投影；8.2.2向量的数量积的定义与运算律 8.3 向量的坐标表示 8.3.1向量基本定理；8.3.2向量正交分解与坐标表示；8.3.3向量线性运算的坐标表示；8.3.4向量数量积与夹角的坐标表示 8.4 向量的应用 考点一 分解 正交分解 把向量写成所在平面上两个不平行向量与的线性组合的过程称为关于与的分解；我们特别关注向量关于两个互相垂直的向量的分解这一特殊而实用的情况， 即在的情况下进行向量的分解；这种分解称为向量的正交分解； 考点二 向量的坐标 在平面直角坐标系中任意一个向量关于轴与轴正方向上的单位向量与的分解就是一个正交分解；这个正交分解称为向量在这个平面直角坐标系中的坐标分解，而有序实数对则称为向量的坐标，并直接表示成 向量的这种表示法称为它的坐标表示，并可以直接用向量的坐标代表一个向量； 考点三 位置向量 必须注意，在向量的坐标表示中，我们先要作出从坐标原点出发的向量，才能用点的坐标表示向量的坐标．为此， 我们把向量称为的位置向量；位置向量终点的坐标才是所给向量的坐标； 理解： 1、平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是两个基向量与互相垂直． 2、向量的坐标只与向量的起点、终点有关，而与向量的具体位置无关； 3、当向量确定以后，即位置向量确定；向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变； 4、由向量坐标的定义知，两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等，即且，其中，； 1、已知，分别表示x轴和y轴方向上的单位向量，且＝4－3，则向量的坐标为 【提示】； 【答案】； 【解析】； 2、如图，向量，是两个互相垂直的单位向量，向量与的夹角是30°，且，以为原点，向量，为基底，则向量 【说明】本题考查了向量坐标的学习过程； 3、设向量＝(1,1)，O为坐标原点，若将向量平移到，则的坐标是 ； A点坐标是 ； 【说明】点的坐标与向量坐标的区别和联系 区别 表示形式不同 向量＝(x，y)中间用等号连接，而点A(x，y)中间没有等号 意义不同 点A(x，y)的坐标(x，y)表示点A在平面直角坐标系中的位置，＝(x，y)的坐标(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向．另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y) 联系 当平面向量的始点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同 注意：在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标定义求坐标. 4、向量的坐标表示为 ；坐标为的向量，用正交分解表示为 【说明】本题主要考查了向量的坐标表示，以及向量的正交分解，其中解答中熟记向量的坐标表示方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力； 5、向量正交分解中，两基底的夹角等于（    ） A．45° B．90° C．180° D．不确定 6、已知向量＝(1，0)，＝(0，1)，对平面内的任一向量，下列结论中正确的是(　　) A．存在唯一的一对实数x，y，使得＝(x，y) B．若x1，x2，y1，y2∈R，＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2 C．若x，y∈R，＝(x，y)，且≠0，则的起点是原点O D．若x，y∈R，，且的终点坐标是(x，y)，则＝(x，y) 【说明】本题综合考查了向量的坐标表示与相等向量间关系； 7、将向量＝(－2，－2)绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量，则的坐标为 . 8、在平面直角坐标系xOy中，向量，的方向如图所示，且||＝2，||＝3， 则的坐标为