8.2.1 向量的投影-同步 配套练习（6基本题4提高题2创新题）-2023-2024学年高一数学下学期同步教材【知识解读·题型梳理·配套训练】（沪教版2020必修第二册）

【原卷版】 8.2.1 向量的投影 班级 姓名 在现实世界和科学问题中，常常会见到既有大小又有方向的量，如位移、速度、力等；数学中的“向量”概念就是从中抽象出来的；向量不仅有丰富的几何内涵，向量及其线性运算与数量积运算还构成了精致且有广泛应用的代数结构，可把有关的几何问题简便地转化为相应代数问题来处理；本章只讨论平面上的向量，选择性必修课程第3章还将把这一讨论推广到（三维）空间中，至于更一般性的推广则是大学线性代数课程的核心内容；高中阶段向量的学习重在为解决代数、几何、三角及物理等领域中的问题提供一个简捷有效的工具； 【本章教材目录】 第8章 平面向量 8.1 向量的概念和线性运算 8.2 向量的数量积 8.2.1向量的投影；8.2.2向量的数量积的定义与运算律 8.3 向量的坐标表示 8.3.1向量基本定理；8.3.2向量正交分解与坐标表示；8.3.3向量线性运算的坐标表示；8.3.4向量数量积与夹角的坐标表示 8.4 向量的应用 考点一 投影向量 （简称为：投影） 投影向量（简称为：投影） 如果向量的起点和终点在直线上的投影分别为和，那么向量叫做向量在直线上的投影向量（简称为：投影）； 理解：一个向量在一个非零向量的方向的投影，就是向量在向量的任意一条所在直线上的投影，因为这些直线都是平行的，所以，向量在一个非零向量的方向的投影是唯一确定的； 考点二 向量的夹角 以一点O为起点，作，我们把射线的夹角称为向量的夹角， 记作：；取值范围为： ； ，又称向量垂直，记作； 考点三 数量投影 据图：如果令为向量的单位向量，那么 向量在向量方向上的向量投影为： ； 其中，实数（*）称为向量在向量方向上的数量投影； 理解： （1）当时；实数（*）大于0； （2）当时；实数（*）等于0； （3）当时；实数（*）小于0； 特别的：零向量在任何非零向量方向上的投影是零向量；而相应的数量投影的绝对值是该投影的模，因此，这个数量投影等于0； 1、两个向量夹角范围是 ，两条直线夹角的范围为 【提示】； 【答案】； 【解析】； 【说明】本题通过对比考查了向量夹角与直线夹角的概念； 2、已知▱ABCD中∠DAB＝30°，则与的夹角为 【说明】本题考查了向量的几何表示与向量的夹角； 3、已知，且与的夹角为，为与方向相同的单位向量，则向量在向量上的投影向量为 .： 4、已知两个非零向量和，O是平面上的任意一点，作＝，＝，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量与的夹角(如图所示). （1）当θ＝0时，则向量与 ； （2）当θ＝π时，则向量与 ； （3）垂直：如果向量与的夹角是，则称向量与 ，记作： ；. 5、己知均为单位向量．若，则在上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 6、已知向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影向量与数量投影分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7、已知||＝3，||＝2，设是同方向上的单位向量，与的夹角为，则在方向上的投影向量为________． 【说明】本题考查了求投影向量的两种方法 （1）在方向上的投影向量为|b|cos θ·，θ为，的夹角，在方向上的投影向量为|a|cos θ·. （2）在方向上的投影向量为·，在方向上的投影向量为·.　　 8、已知，若在上的投影向量为，则＝________． 【说明】本题综合考查了投影向量及其向量的相关运算； 9、已知向量为单位向量，且． （1）求的值； （2）向量在上的投影的数量为，且向量在上的投影的数量为，求的值． 10、定义：|，其中为向量与的夹角，若，，，则等于(　　) A．8 B．－8 C．8或－8 D．6 11、已知是平面内的单位向量，若向量垂直向量，则的最小值为__________，最大值为__________. 【说明】本题综合考查了向量的线性运算及其几何意义、向量夹角与三角函数的有界性； 12、已知中，，且为的外心．若在上的投影向量为， 且，求的取值范围； ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【解析版】 8.2.1 向量的投影 班级