8.1.3 实数与向量的乘法-同步 配套练习（6基本题4提高题2创新题）-2023-2024学年高一数学下学期同步教材【知识解读·题型梳理·配套训练】（沪教版2020必修第二册）

【原卷版】 8.1.3 实数与向量的乘法 班级 姓名 在现实世界和科学问题中，常常会见到既有大小又有方向的量，如位移、速度、力等；数学中的“向量”概念就是从中抽象出来的；向量不仅有丰富的几何内涵，向量及其线性运算与数量积运算还构成了精致且有广泛应用的代数结构，可把有关的几何问题简便地转化为相应代数问题来处理；本章只讨论平面上的向量，选择性必修课程第3章还将把这一讨论推广到（三维）空间中，至于更一般性的推广则是大学线性代数课程的核心内容；高中阶段向量的学习重在为解决代数、几何、三角及物理等领域中的问题提供一个简捷有效的工具； 【本章教材目录】 第8章 平面向量 8.1 向量的概念和线性运算 8.2 向量的数量积 8.2.1向量的投影；8.2.2向量的数量积的定义与运算律 8.3 向量的坐标表示 8.3.1向量基本定理；8.3.2向量正交分解与坐标表示；8.3.3向量线性运算的坐标表示；8.3.4向量数量积与夹角的坐标表示 8.4 向量的应用 考点一 实数与向量乘法 一般地，实数与向量的积是一个向量；记作， 它的模与方向规定如下： （1）； （2）当>0时，的方向与的方向相同； 当<0时，的方向与的方向相反； 特别地，当或时，； 考点二 向量共线的充要条件 已知向量、是两个非零共线向量，即，则与的方向相同或相反； 向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使. 教材结论： 向量与平行的充要条件是：存在实数，使得； 考点三 实数与向量乘法 的运算律 设与是向量，，为实数，则 （1）； （2）； （3） 考点四 非零向量的单位向量 与非零向量同方向的单位向量叫做向量的单位向量；记作： 则，即； 考点五 向量的线性运算 向量的线性组合 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算；向量线性运算的结果仍是向量； 从一个或几个向量出发，通过线性运算得到的新向量称为原来那些向量的线性组合； 对于任意向量，，以及任意实数λ，μ1，μ2， 恒有λ(μ1±μ2)＝λμ1±λμ2； 说明： 1、向量数乘的特殊情况：当时，；当时，也有；实数和向量可以求积，但是不能求和、求差. 2、平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基地的向量是不共线的向量. 3、判断两个向量是否共线的关键是看两个向量是否满足向量共线定理，即向量 ()与共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使＝λ；因此，在考虑问题时，不要忽略零向量； 思考　向量共线定理中为什么规定? 答案　若将条件去掉，即当时，显然与共线. (1)若，则不存在实数λ，使＝λ. (2)若，则对任意实数λ，都有＝λ； 1、已知向量，满足||＝3，||＝5，且＝λ，则实数λ的值是________. 【提示】； 【答案】； 【解析】； 【说明】； 2、点C在线段上，且，则___，___． 【说明】本题考查向量的意义，属于基础题. 3、已知3(2－＋)＋＝2(－＋3)，则= . 4、若，化简等于 【说明】本题考查了向量的线性运算；向量线性运算的基本方法：类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数； 5、如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，若＝，＝，则等于(　 　) A．－ B．＋ C．＋ D．－ 【说明】本题考查了借助实数与向量乘法，用已知向量表示其他向量；用已知向量表示其他向量的两种方法：1、直接法；结合平面几何性质；2、方程法：当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程； 6、如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为(　 　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【说明】本题考查了由向平行导出的三点共线的常用结论；注意： 1、本题主要是应用判断三点共线的一个常用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点⇔存在实数x，y，使＝x＋y，且x＋y＝1；2、应用时一定注意O是共同的起点，主要是培养学生逻辑推理的核心素养； 7、已知，是两个不共线的向量，向量，共线，则实数的值为 ． 8、下列各组向量中，一定能推出∥的序号是