8.4 向量的应用（教材解读）-2023-2024学年高一数学下学期同步教材【知识解读·题型梳理·配套训练】（沪教版2020必修第二册）

【原卷版】 向量的应用 【沪教版2020】数学 必修 第二册 教材解读 在现实世界和科学问题中，常常会见到既有大小又有方向的量，如位移、速度、力等；数学中的“向量”概念就是从中抽象出来的；向量不仅有丰富的几何内涵，向量及其线性运算与数量积运算还构成了精致且有广泛应用的代数结构，可把有关的几何问题简便地转化为相应代数问题来处理；本章只讨论平面上的向量，选择性必修课程第3章还将把这一讨论推广到（三维）空间中，至于更一般性的推广则是大学线性代数课程的核心内容；高中阶段向量的学习重在为解决代数、几何、三角及物理等领域中的问题提供一个简捷有效的工具； 【本章教材目录】 第8章 平面向量 8.1 向量的概念和线性运算 8.2 向量的数量积 8.2.1向量的投影；8.2.2向量的数量积的定义与运算律 8.3 向量的坐标表示 8.3.1向量基本定理；8.3.2向量正交分解与坐标表示；8.3.3向量线性运算的坐标表示；8.3.4向量数量积与夹角的坐标表示 8.4 向量的应用 【本章内容提要】 1、平面向量的基本概念 （1）向量：既有大小又有方向的量，常用、等记号表示. （2）向量的模：向量的大小，向量的模记为. （3）零向量：其模为，方向任意. （4）单位向量：模为的向量；非零向量的单位向量是. （5）平行向量：方向相同或相反的向量. （6）相等向量：方向相同、模相等的向量. （7）负向量：方向相反、模相等的向量. 2、向量的线性运算 （1）平面向量的加法、减法：运用平行四边形法则或三角形法则. （2）减去一个向量等于加上它的负向量． （3）实数与平面向量的乘法：实数与向量的乘积，记作. （4）设、、是平面上的任意向量，、 向量的加法满足如下运算律：交换律：；结合律：. 实数与向量的乘法对向量加减法满足分配律：；；. 3. 向量的投影与数量积 （1）向量的夹角：向量与的夹角记为，其值. （2）向量的投影：向量在非零向量方向上的投影是如下的向量：. 其中，系数称为向量在向量方向上的数量投影. （3）向量与的数量积定义为：. （4）向量的数量积满足交换律，并且是线性的（即对向量的加减满足分配律，且可与实数的乘法交换）. 4、平面向量基本定理与向量的坐标表示 （1）平面向量基本定理：给定平面上两个不平行的向量，则该平面内的任意向量都可以唯一地表示为这两个向量的线性组合，也就是说，平面上任意两个不平行的向量都组成了一个基. （2）向量的坐标表示：在直角坐标系中，把向量的起点放到坐标原点，向量就直接用它的终点坐标表示，称为向量的坐标表示，这样，向量就可写成坐标轴正方向上的单位向量、的线性组合. （3）给定平面上两点与，则. 5、坐标表示下的向量运算 设向量，，则 （1）. （2）. （3），. （4）. 6、向量的夹角、平行与垂直 设向量，，则 （1）. （2）（）或（）. （3）. 7、向量的应用 要体会如何从各种有关的问题中抽象出相应的向量问题，并用所掌握的向量方法解决这个向量问题，从而使原问题得以解决. 【要点方法解读】 题型017 角度与弧度的互化 定比分点坐标公式： 若点，，为实数，且，则点的坐标为（），我们称为点P分所成的比； 【提示】由结合向量的坐标表示与相等，推导得 【说明】1、其中：定比分点坐标公式() 2、点分所成的比与点分所成的比是两个不同的比，要注意方向 3、点的位置与λ的范围的关系： ①当时，与同向共线，这时称点为的内分点 特别地，当时，有＝，即点是线段之中点，其坐标为； ②当λ＜０()时，与反向共线，这时称点为的外分点； 【典例】 1、在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，则BC边的中线AD的长是（ ） A．2 B． C．3 D． 【提示】； 【答案】； 【解析】； 【说明】本题考查了中点公式与模长公式； 2、已知点，向量，，点P是线段的三等分点，求点P的坐标． 【说明】本题考查了向量的线性运算、线段的三等分点，属于基础题． 题型018 利用向量求线段长度或证明线段相等 若已知向量：则求线段长度或证明线段相等，可用向量的模长公式：； 例如证明,只要证明或. 【典例】 1、如图，在平行四边形中，已知，，对角线，试用向量的方法求对角线的长； 2、已知Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n. （1）若D为斜边AB的中点，求证：CD＝AB； （2）若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，n表示)． 【说明】利用向量法解决长度问题 向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求解， 一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，用公式||2＝2求解； 二是建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若＝(