8.4 向量的应用（3种题型基础练+提升练）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）

8.4 向量的应用（3种题型基础练+提升练） 一．用向量的方法证明（共1小题） 1．（2023春•嘉定区校级期末）用向量方法证明：． 二．平面向量数量积的性质及其运算（共1小题） 2．（2021春•徐汇区期末）在中，设，，记的面积为． （1）求证：； （2）设，，，，求证：． 三．向量在物理中的应用（共1小题） 3．（2022春•虹口区校级期末）高一学生将质量为的物体用两根绳子悬挂起来，如图（1）（2），两根绳子与铅垂线的夹角分别为和，则拉力与大小的比值为 　　． 四．平面向量的综合题（共3小题） 4．（2023春•长宁区校级期末）将函数和直线的所有交点从左到右依次记为，，，，，若点坐标为，则　　 A．0 B．2 C．6 D．10 5．（2021春•虹口区校级期末）记边长为1的正六边形的六个顶点分别为、、、、、，是该正六边形中心，设点集，，，，，，，向量集，且，不重合．则这个集合中元素的个数为　　 A．18 B．24 C．36 D．42 6．（2023春•虹口区校级期末）如图，在平行四边形中，点是的中点，点，分别是，的三等分点，．设，． （1）用，表示，； （2）如果，，有什么位置关系？用向量方法证明你的结论． 一．选择题（共6小题） 1．（2023春•鼓楼区期中）已知一个物体在三个力，，的作用下，处于静止状态，则　　 A． B． C． D． 2．（2023春•横山区校级期中）体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为，则该学生的体重约为（参考数据：取重力加速度大小为，　　 A． B． C． D． 3．（2022春•富平县期末）已知力与水平方向的夹角为（斜向上），大小为，一个质量为的木块受力的作用在动摩擦因数的水平平面上运动了，则力和摩擦力所做的功分别为　　 A．， B．， C．， D．， 4．（2022春•澄城县期末）如图，一个力作用于小车，使小车发生了40米的位移，的大小为，且与小车的位移方向的方向）的夹角为，则力做的功为　　 A． B． C． D． 5．（2022春•琼海校级期末）已知作用在点的三个力，．，且，则合力的终点坐标为　　 A． B． C． D． 6．（2022春•湖南月考）将函数和直线的所有交点从左到右依次记为，，，，，若点坐标为，则　　 A． B． C． D．0 二．填空题（共4小题） 7．（2024春•高新区校级月考）一条河宽为，一船从处出发垂直航行到达河正对岸的处，船速为，水速为，则船到达处所需时间为 　　． 8．（2023春•西青区期末）在体育课上，同学们经常要在单杠上做引体向上运动（如图），假设某同学所受重力为，两臂拉力分别为，，若，与的夹角为，则以下四个结论中： ①的最小值为； ②当时，； ③当时，； ④在单杠上做引体向上运动时，两臂夹角越大越省力．在以上四个结论中，正确的序号为 　　． 9．（2022春•黔东南州期末）如图，作用于同一点的三个力，，处于平衡状态，已知，，与的夹角为，则的大小为 　　． 10．（2023春•连城县校级月考）在河水的流速大小为情况下，当航程最短时，一艘小船以实际航速的速度大小驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为 　　． 三．解答题（共7小题） 11．（2022春•济源校级期末）已知向量、、满足，．求证：△是正三角形． 12．（2022春•信阳期中）已知向量，， （1）当时，求的值； （2）求在，上的最大值与最小值． 13．（2022春•富平县期末）设，是两个不共线的非零向量． （1）记，，，那么实数为何值时，三点共线？ （2）若且与夹角为，那么实数为何值时，的值最小？ 14．（2022春•潜江校级期中）已知中，过重心的直线交线段于，交线段于，连结并延长交于点，设的面积为，的面积为，． （1）用表示，并证明为定值； （2）求的取值范围． 15．（2021春•浦东新区校级期末）设，，，，其中，，，． （1）请你利用上述两个向量以及向量的知识证明：，并指出等号成立的条件； （2）请你运用（1）中证明不等式的向量方法，求函数的最大值． 16．（2024春•新北区校级月考）定义非零向量．若函数解析式满足，则称为向量的“伴生函数”，向量为函数的“源向量”． （1）已知向量为函数的“源向量”，若方程在，上有且仅有四个不相等的实数根，求实数的取值范围； （2）已知点满足，向量的“伴生函数” 在时取得最大值，当点运动时，求的取值范围； （3）已知向量的“伴生函数” 在时的取值为．若在三角形中，，，若点为该三角形的外心，求的最大值． 17．（2023春•虹口区校级期末）已知集合，，，为坐标原点，若，，，，、，定义点、之间的距离为． （1）若，，，求的值； （2）记，若，，为常数），求的最大值，