6.5 三角形的内心与外心-【一战成名新中考】2024河北中考数学·基础夯实练

基础夯实练·河北数学 命题点５　三角形的内心与外心（必考 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 ） １．了解三角形的内心与外心； ２．能用尺规作图：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆． 要点归纳 １．确定圆的条件：不在同一条直线上的三个点确定一个圆． ２．三角形的内切圆与外接圆： 定义 图形 圆心 结论 三角形的 内切圆 与三角形 各边都相 切的圆 内心：三角形三个内角的 ①　角平分线　的 交点 ＯＤ＝ＯＥ＝ＯＦ， ∠ＥＯＤ＋∠Ｃ＝１８０°， ∠ＡＯＢ＝９０°＋１２∠Ｃ， ＣＥ＝ＣＤ 三角形 的外接圆 经过三角 形的三个 顶点的圆 外心：三角形三条边的 ②　垂直平分线　 的交点 ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ， ∠ＢＯＣ＝２∠ＢＡＣ 温馨提示：锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形的外 心在三角形外．当三角形形状不确定时，  应用外心一定要分类讨论． ３．内心与外心的几个拓展知识 （１）四个典型的内心、外心模型 已知：ＣＡ、ＣＢ都是 ⊙Ｏ的切线 已知：ＢＡ＝ＢＥ、ＣＡ＝ ＣＤ，点 Ｍ为△ＡＢＣ 的内心 已知：点 Ｐ为△ＡＢＣ 的内心，∠ＡＣＰ＝α 已知：点 Ｐ为△ＡＢＣ 的内心，ＡＢ＝ｍ，ＢＣ ＝ｎ（ｍ＜ｎ） ４１１ 基础夯实练·河北数学 续表 结论：点Ｍ是△ＡＢＣ 的内心 结论：点Ｍ是△ＡＤＥ 的外心（已知与结论 颠倒，依然成立） 结论：利用∠ＢＰＣ＝ ９０°＋１２∠Ａ，得９０°＜ ∠ＢＰＣ＜１８０°－α 结论：利用切线长定 理可得 ＡＣ＝ｍ＋ｎ－ ２ＢＤ，结合三角形三边 关系可得０＜ＢＤ＜ｍ （２）三角形的最小覆盖圆问题 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 结论：锐角三角形的最小覆 盖圆是它的外接圆 结论：直角三角形的最小覆 盖圆是它的外接圆（或以斜 边为直径的圆） 结论：钝角三角形的最小 覆盖圆是以最长边为直 径的圆 （３）三角形内切圆半径的求法 任意三角形的内切圆 直角三角形的内切圆 利用等面积法可得：ｒ＝ ２Ｓ△ＡＢＣ ａ＋ｂ＋ｃ 利用等面积法可得：ｒ＝ ａｂａ＋ｂ＋ｃ； 利用切线长定理可得：ｒ＝ａ＋ｂ－ｃ２ 随堂练习 １．如图，在平面直角坐标系ｘＯｙ中，点Ａ（０，３），点Ｂ（２，１），点Ｃ（２，－３），则△ＡＢＣ的外心坐标 是　（－２，－１）　． 第１题图 　　　　 第２题图 　　　　　　 第３题图 ２．如图，点Ｏ是△ＡＢＣ的内心，也是△ＤＢＣ的外心．若∠Ａ＝８０°，则∠Ｄ的度数是　６５°　． ３．（数学文化）《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作之一．书中记载了 一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容圆径几何？”译文：“如图，今有直角三角形，勾 （短直角边）长为５步，股（长直角边）长为１２步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的直 径是多少步？”根据题意，该直角三角形内切圆的直径为　４　步． 【思维点拨】遇到选填题可以用前面几种典型半径的求法快速得到答案． ５１１ ２．（１）①８０；② ９５；（２）①３０， 槡４ ３；②３；（３）①３，３０°， 槡３ ６； ②９０°，直径所对的圆周角是直角，⊥； ③ＰＯ＝２５３． 命题点５　三角形的内心与外心 要点归纳　①平分线　②垂直平分线　 随堂练习　１．（－２，－１）　２．６５°　３．４ 命题点６　圆的相关计算 要点归纳　①２πｒ　②ｎπｒ１８０　③πｒ ２　④ｎπｒ ２ ３６０　⑤扇形 ⑥半径　⑦等腰　⑧ｒ２＋ｈ２＝ｌ２　⑨９０　⑩ ６０　瑏瑡槡２２ 瑏瑢槡３２　瑏瑣槡３　瑏瑤槡２　瑏瑥 槡４２　瑏瑦 ６　瑏瑧 ２　瑏瑨 槡３３ ２ 随堂练习　１．①②④　２．４０　 ３．（１）槡８２；（２）８π，８π； （３）４８π，１２０°　４．１０π　 ５．６－２５π１６，２＋ ５π ４              ． 第七章　图形的变化 命题点１　尺规作图 随堂练习　Ｂ 命题点２　投影与视图 要点归纳　①正　②左　③上　④长对正　⑤高平齐 ⑥宽相等　⑦实　⑧虚　⑨圆柱　⑩圆锥　瑏瑡球　瑏瑢正方 体　瑏瑣长方体　瑏瑤三棱柱　瑏瑥三棱锥 随堂练习　１．Ｃ　２．Ａ，Ｃ，Ｂ 命题点３　立体图形的展开与折叠 要点归纳　①正方形　②矩形　③矩形　④扇形　⑤ 槡９２ 随堂练习　 １．（１）Ｃ　（２）加　（３）Ａ 命题点４　轴对称与图形的折叠 要点归纳　①重合　②对称轴　③完全重合　④对称轴　 ⑤对称点　⑥对称轴　⑦相等　⑧相等　⑨ＡＢ　⑩ＣＢ　 瑏瑡∠ＡＢＣ　