6.1 圆的基本概念与性质&6.2 垂径定理及其推论-【一战成名新中考】2024河北中考数学·基础夯实练

基础夯实练·河北数学 　　　　　　 第六章　圆　　　　　 命题点１　圆的基本概念与性质（必考 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 毴 毴毴 毴 ） 理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念． 要点归纳 １．圆的有关概念与性质 圆 （１）平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端 点形成的图形叫作圆．如图，固定的端点Ｏ称为圆心，线段ＯＡ 称为半径 （２）圆还可以看成是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成 的图形，定点就是圆心，定长就是半径 等圆 能够重合的两个圆叫作等圆，同圆或等圆的半径①　相等　 弦 （１）连接圆上任意两点的线段叫作弦．如图，线段ＡＢ，ＡＣ； （２）经过②　圆心　的弦叫作直径，在圆的所有弦中， ③　直径　是最长的弦．如图，线段ＡＢ 弧 圆上任意两点 间的部分叫作 圆弧，简称弧 （１）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两 条弧，每一条弧都叫作半圆．如图，半圆ＡＢ； （２）大于半圆的弧叫作④　优弧　．如图， ) ＡＢＣ； （３）小于半圆的弧叫作⑤　劣弧　．如图， ) ＡＣ； （４）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作 等弧 圆心角 顶点在⑥　圆心　的角叫作圆心角．如图，∠ＡＯＣ，∠ＢＯＣ 圆周角 顶点在⑦　圆上　 ，两边分别与圆还有另一个交点，这样的角 叫作圆周角．如图，∠ＢＡＣ 圆的 对称性 （１）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线； （２）圆是中心对称图形，它的对称中心为圆心 圆的旋 转不变性 圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任意一个角度都能与自身重合 易错警示：（１）圆上任意一条弦对应两条弧； （２）直径是圆中最长的弦，但弦不一定是直径，一个圆有无数条直径和半径； （３）半圆是弧（注意一定不能带直径），但弧不一定是半圆； （４）等弧只存在于同圆或等圆中，指的是能够完全重合的弧． ６０１ 基础夯实练·河北数学 ２．弦、弧、圆心角的关系 定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧⑧　相等　，所对的 弦⑨　相等　．如图，若∠ＡＯＢ＝⑩　∠ＣＯＤ　，则 ) ＡＢ＝ ) ＣＤ，ＡＢ ＝瑏瑡　ＣＤ　 推论  在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组 量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别瑏瑢　相等　，即 “知一推二”．如图，若 ) ＡＢ＝ ) ＣＤ，则∠ＡＯＢ＝瑏瑣　∠ＣＯＤ　，ＡＢ ＝ＣＤ；若ＡＢ＝瑏瑤　ＣＤ　，则∠ＡＯＢ＝瑏瑥　∠ＣＯＤ　， ) ＡＢ＝ ) ＣＤ 随堂练习 １．下列结论中正确的是　①③④⑨　．（填所有正确结论的序号） ①直径是圆中最长的弦； ②长度相等的两条弧是等弧； ③面积相等的两个圆是等圆； ④等弧所对的圆心角相等； ⑤同圆中，两条相等的弦所对的弧相等； ⑥顶点在圆上的角是圆周角； ⑦将圆绕一点旋转一个角度可以和自身重合； ⑧圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴； ⑨半圆是弧； ⑩过圆心的线段是直径 第２题图 ２．如图，ＡＢ，ＣＤ是⊙Ｏ的直径， ) ＡＥ＝ ) ＢＤ，∠ＡＯＥ＝３２°，点Ｆ是 ) ＤＥ上一点，连接 ＯＦ，ＤＦ． （１）∠ＣＯＥ的度数是　６４　°； （２）若 ) ＤＦ＝ ) ＥＦ，则∠ＯＦＤ的度数是　６１　°； （３）若ＡＢ＝２ＤＦ，则∠ＢＯＦ的度数是　９２　°． 命题点２　 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 毴 毴毴 毴 垂径定理及其推论 探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧． 要点归纳 １．垂径定理及其推论 （１）定理：垂直于弦的直径①　平分　弦，并且②　平分　弦所对的两条弧； （２）推论：平分弦（不是直径）的直径③　垂直　于弦，并且④　平分　弦所对的弧． ７０１ 基础夯实练·河北数学 图１ “知二推三”———如图１，根据圆的对称性，有以下五个结论：①ＣＤ是⊙Ｏ 的直径；②ＡＢ⊥⑤　ＣＤ　；③ＡＥ＝⑥　ＢＥ　；④ ) ＡＣ＝ ) ＢＣ；⑤ ) ＡＤ＝ ⑦　 ) ＢＤ　．只要满足其中两个，  另外三个结论一定成立． ２．垂径定理的应用 （１）过圆心作弦（非直径）的垂线，连接圆心和弦的一个端点（即半径），构造 直角三角形，运用勾股定理或锐角三角函数进行相关计算； 图２ （２）确定一条弧所在圆的圆心 如图２，确定 ) ＡＢ所在圆的圆心．作法：在 ) ＡＢ上取一点 Ｃ， 作ＡＣ，ＢＣ的中垂线，两条中垂线的交点即为 ) ＡＢ所在圆 的圆心．