5.5 正方形的性质与判定&5.6 特殊四边形之间的关系与中点四边形-【一战成名新中考】2024河北中考数学·基础夯实练

基础夯实练·河北数学 形．填写判定依据：　有一组邻边相等的平行四边形是菱形（答案不唯一）　． 第２题图 证明：∵Ｄ、Ｅ、Ｆ分别为ＡＢ、ＢＣ、ＡＣ的中点， ∴ＤＥ为△ＡＢＣ的中位线，ＡＦ＝１２ＡＣ， ∴ＤＥ∥ＡＣ且ＤＥ＝１２ＡＣ＝ＡＦ，∴四边形ＡＤＥＦ为平行四边形， ∴ＥＦ∥ＤＡ，∴∠ＤＡＥ＝∠ＡＥＦ， ∵ＡＥ平分∠ＢＡＣ，∴∠ＤＡＥ＝∠ＦＡＥ， ∴∠ＦＡＥ＝∠ＡＥＦ，∴ＡＦ＝ＥＦ，∴四边形ＡＤＥＦ为菱形． 想一想，除了你选择的那一个条件外，其他２个条件能否证明  ？ 命题点５　正方形的性质与判定（必考 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 ） １．理解正方形的概念； ２．正方形既是矩形，又是菱形． 要点归纳 １．正方形：有一组邻边相等且有一个角是直角的①　平行四边形　叫作正方形． ２．正方形的性质（正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质） 边 两组对边分别平行，四条边②　相等　，即ＡＢ∥ＣＤ，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＡ 角 四个角都是③　直角（９０°）　 ，即∠ＡＢＣ＝∠ＢＣＤ＝∠ＣＤＡ＝ ∠ＤＡＢ＝９０° 对角线 对角线相等且④　互相垂直平分　，每一条对角线平分一组对 角，即 ＡＣ⊥ＢＤ，ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ＝ＯＤ，∠ＤＡＣ＝∠ＢＡＣ＝∠ＡＤＢ＝ ∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＤ＝∠ＡＣＢ＝∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＤ＝４５° 对称性 既是轴对称图形，又是中心对称图形，有⑤　４　条对称轴，两条 对称轴是两条对角线所在的直线，另外两条对称轴是过对角线交 点与边平行的直线 面积 等于边长的平方，或对角线之积的⑥　一半　，即Ｓ＝ＡＢ２＝１２ＡＣ ·ＢＤ ３．正方形的判定 　 ３０１ 基础夯实练·河北数学 ４．正方形中的特殊三角形与面积问题 图形 （人教八下Ｐ５９例５图１８．２－１２） 延伸：巧用４５° ＥＦ是平行于边ＡＤ 的任意一条直线 结论 一对全等 獉獉 的等腰直角三角 形；Ｓ１瑏瑤　＝　Ｓ２ 四对全等 獉獉 的等腰直角三角形； Ｓ１瑏瑥＝　Ｓ２瑏瑦＝　Ｓ３瑏瑧＝　Ｓ４ △ＡＥＧ和△ＣＦＧ都是 等腰直角三角形 注：①４５°＋直角三角形 ＋斜边中线可得到很多相等线段；②注意两条对角线的对称性的 应用． 随堂练习 １．如图，在边长为６的正方形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ． 第１题图 （１）∠ＡＢＯ＝　４５°　，ＡＣ＝　６槡２　，ＢＯ＝　３槡２　； （２）点Ｅ在线段ＢＣ上，连接ＡＥ． ①若Ｅ是边ＢＣ的中点，则ｔａｎ∠ＢＡＥ＝　　　　，ＡＥ＝　３槡５　； ②设ＡＥ交ＢＤ于点Ｆ，若ＡＤ＝ＤＦ，则∠ＤＡＦ＝　６７．５°　，ＡＥ是△ＡＢＣ 的　角平分线　． 第２题图 ２．（冀教八下Ｐ１４８例１改编）如图，在正方形 ＡＢＣＤ中，点 Ｅ是对角线 ＡＣ上一 点，连接ＢＥ，ＤＥ． （１）若ＤＥ＝２，则ＢＥ＝　２　； （２）若ＡＢ＝４，ＡＥ＝３ＣＥ，则ＣＥ＝　槡２　，四边形ＡＤＥＢ的面积为　１２　． ３．在四边形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ． （１）四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，请添加一个条件，使四边形ＡＢＣＤ为正方形． ①若ＡＢ＝ＡＤ，添加的条件为　∠ＡＢＣ＝９０°（答案不唯一）　； ②若ＡＣ⊥ＢＤ，添加的条件为　ＡＣ＝ＢＤ（答案不唯一）　； ③若∠ＡＤＣ＝９０°，添加的条件为　ＡＣ⊥ＢＤ（答案不唯一）　； 第３题图 （２）如图，若四边形ＡＢＣＤ是正方形，对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ，过点Ｄ作 ＤＥ∥ＡＣ，过点Ｃ作 ＣＥ∥ＢＤ，ＤＥ，ＣＥ相交于点 Ｅ，求证：四边形 ＤＯＣＥ 是正方形． 证明：∵ＤＥ∥ＡＣ，ＣＥ∥ＢＤ，∴四边形ＤＯＣＥ是平行四边形， ∵四边形 ＡＢＣＤ是正方形，对角线 ＡＣ，ＢＤ相交于点 Ｏ，∴ＯＤ＝ＯＣ， ∠ＤＯＣ＝９０°． ∴四边形ＤＯＣＥ是正方形． ４０１ 基础夯实练·河北数学 命题点６　 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 特殊四边形之间的关系与中点四边形 １．理解平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形之间的关系； ２．理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系． 要点归纳 １．特殊四边形的性质对比 特殊四边形 边 角 对角线 对称性 平行四边形 对边平行且 相等 对角相等 对角线互相平分 中心对称图形 矩形 对边平行且 相等 四个角都是 直角 对角线互相平分且相等 轴对称图形； 中心对称图形 菱形 对