5.4 菱形的性质与判定-【一战成名新中考】2024河北中考数学·基础夯实练

基础夯实练·河北数学 命题点４　菱形的性质与判定（必考 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲 櫲 櫲 櫲 櫲 毴 毴毴 毴 ） １．理解菱形的概念； ２．探索并证明菱形的性质定理：菱形的四条边相等，对角线互相垂直；探索并证明菱形的判定定理：四边 相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 要点归纳 １．菱形：有一组邻边①　相等　的平行四边形 獉獉獉獉獉 叫作菱形． ２．菱形的性质（菱形具有平行四边形的一切性质） 边 四条边都②　相等　，两组对边分别平行，即ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ ＝ＤＡ，ＡＢ∥ＣＤ，ＡＤ∥ＢＣ 角 两组对角分别③　相等　，即∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＣ，∠ＤＡＢ ＝∠ＤＣＢ 对角线 对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角，即 ＡＣ⊥ ＢＤ，ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ，∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＤ＝∠ＡＤＢ＝∠ＣＤＢ， ∠ＤＡＣ＝∠ＢＡＣ＝∠ＤＣＡ＝∠ＢＣＡ 对称性 既是轴对称图形（有④　２　条对称轴），又是中心对称图形 面积 等于边长 ×该边上的高或两条对角线之⑤　积　的一半， 即Ｓ＝ａｈ（ａ为边长，ｈ为该边上的高）或Ｓ＝１２ＡＣ·ＢＤ                      对角线互相垂直的四边形的面积 对角线互相垂直的任意四边形的面积等于两条对角线乘积的一半． 已知：如图，四边形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ，且ＡＣ⊥ＢＤ． 证明：Ｓ四边形ＡＢＣＤ＝Ｓ△ＡＤＣ＋Ｓ△ＢＡＣ＝ １ ２ＡＣ·ＯＤ＋ １ ２ＡＣ·ＢＯ＝ １ ２ＡＣ·（ＯＤ＋ ＯＢ）＝１２ＡＣ·ＢＤ． ３．菱形的判定 已知四边形ＡＢＣＤ，请添加适当的条件，使四边形ＡＢＣＤ为菱形． 图形 添加条件 判定定理 （１）ＡＢ⑥　＝　ＢＣ ⑦　一组邻边相等　的平行四边 形是菱形 （２）⑧　ＡＣ⊥ＢＤ　 对角线⑨　互相垂直　的平行四 边形是菱形 （３）⑩　ＡＢ＝ＢＣ＝　 　ＣＤ＝ＤＡ　 瑏瑡　四条边都相等　的四边形是 菱形 １０１ 基础夯实练·河北数学 ４．菱形中的特殊三角形与面积问题 图 形 （人教八下Ｐ５６　 图１８．２－８）　 延伸一：６０° 延伸二：６０° （ＡＥ＝ＢＦ） 结 论 一对全等 獉獉 的等腰 三角形； Ｓ１瑏瑢　＝　Ｓ２ 四对全等 獉獉 的直角 三角形； Ｓ１瑏瑣＝　Ｓ２瑏瑤＝　 Ｓ３瑏瑥　＝　Ｓ４ △ＡＢＤ和△ＣＢＤ是一 对全等 獉獉 的等边三角形； ＡＣ＝槡３ＢＤ＝槡３ＡＢ △ＤＥＦ是等边三角形； △ＡＥＤ≌△ＢＦＤ； △ＢＥＤ≌△ＣＦＤ； △ＡＢＤ≌△ＣＢＤ 注：菱形中连接一边的中点与两条对角线的交点可构成直角三角形斜边上的中线或三角形 的中位线． ５．两个矩形纸片的重叠问题 图形 结论 不等宽的两个矩形纸片重叠（不垂直），重 叠部分一定是平行四边形，∵ｈ１≠ｈ２， ∴一定不是菱形 等宽的两个矩形纸片重叠（不垂直）， ∵ｈ１＝ｈ２，∴重叠部分一定是菱形 随堂练习 １．已知菱形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ． （１）如图①，若∠ＡＢＣ＝１５０°，则∠ＤＡＢ＝　３０°　，∠ＤＡＣ＝　１５°　； （２）如图①，若 ＡＣ＝８，ＢＤ＝４，则 ＡＢ＝　２槡５　，菱形 ＡＢＣＤ的周长为　８槡５　，菱形 ＡＢＣＤ的面积为　１６　； （３）如图①，若∠ＢＡＤ＝６０°，ＢＤ＝３，则△ＡＢＤ是　等边　三角形，ＡＢ＝　３　，ＡＣ＝　３槡３　； 图① 　　 图② 第１题图 （４）如图②，点Ｅ是ＡＤ的中点，连接ＯＥ，若ＯＥ＝２，则菱形ＡＢＣＤ的周长是　１６　． ２．如图，Ｄ、Ｅ、Ｆ分别是△ＡＢＣ各边的中点，连接ＤＥ、ＥＦ、ＡＥ．有以下３个条件：①∠ＢＡＣ＝９０°； ②ＡＥ平分∠ＢＡＣ；③ＡＢ＝ＡＣ，请从中选择一个：　②　（填写序号），证明四边形 ＡＤＥＦ为菱 ２０１ 基础夯实练·河北数学 形．填写判定依据：　有一组邻边相等的平行四边形是菱形（答案不唯一）　． 第２题图 证明：∵Ｄ、Ｅ、Ｆ分别为ＡＢ、ＢＣ、ＡＣ的中点， ∴ＤＥ为△ＡＢＣ的中位线，ＡＦ＝１２ＡＣ， ∴ＤＥ∥ＡＣ且ＤＥ＝１２ＡＣ＝ＡＦ，∴四边形ＡＤＥＦ为平行四边形， ∴ＥＦ∥ＤＡ，∴∠ＤＡＥ＝∠ＡＥＦ， ∵ＡＥ平分∠ＢＡＣ，∴∠ＤＡＥ＝∠ＦＡＥ， ∴∠ＦＡＥ＝∠ＡＥＦ，∴ＡＦ＝ＥＦ，∴四边形ＡＤＥＦ为菱形． 想一想，除了你选择的那一个条件外，其他２个条件能否证明 