方法必备05 压轴大题几何中的最值问题（5种题型40题专练）-【口袋书】2024年中考数学一轮复习知识清单

方法必备05 压轴大题几何中的最值问题（5种题型40题专练） 题型一：圆中的最值问题（9题） 题型二：胡不归模型（11题） 题型三：阿氏圆模型（5题） 题型四：瓜豆原理（4题） 题型五：将军饮马模型（11题） 题型一：圆中的最值问题（9题） 1．（2023•竞秀区二模）已知，在半圆中，直径，点，在半圆上运动，弦． （1）如图1，当时，求证：； （2）如图2，若，求图中阴影部分（弦、直径、弧围成的图形）的面积； （3）如图3，取的中点，点从点开始运动到点与点重合时结束，在整个运动过程中：点到的距离的最小值是 　　． 2．（2023•大兴区二模）在平面直角坐标系中，已知点，．点为平面内一点（不与点，点重合），若是以线段为斜边的直角三角形，则称点为线段的直点． （1）若， ①在点，，这三个点中，点 　　是线段的直点； ②点为线段的直点，点，求的取值范围； （2）点在直线上，若点的横坐标 满足，点为线段的直点，且，直接写出的取值范围． 3．（2022•舟山二模）如图，已知，，是的平分线．动点从点出发，以的速度沿水平向左做匀速运动，与此同时，动点从点出发，也以的速度沿竖直向上做匀速运动．连接，交于点．经过，，三点作圆，交于点，连接、．设运动时间为，其中． （1）用含的代数式表示线段的长，并求的最小值． （2）求四边形的面积． （3）是否存在实数，使得线段的长度最大？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 4．（2022•常州模拟）如图，半圆的直径，以长为2的弦为直径，向点方向作半圆，其中点在上且不与点重合，但点可与点重合． （1）计算：劣弧的长； （2）思考：点与的最大距离为 　　，此时点，间的距离为 　　；点与的最小距离为 　　． （3）探究：当半圆与相切时，求的长． （注：结果保留，， 5．（2022•灞桥区校级三模）问题提出： （1）如图①，已知点到直线的距离是5，以为圆心、2为半径作圆，则上一点到直线的最小距离为 　　． 问题探究： （2）如图②，已知正方形的边长为2，是边上的动点，交于点，垂足为，连结，则求的最小值． 问题解决： （3）如图③，有一个矩形花坛，，，根据设计造型要求，在上任取一动点，连，过点作，交于点，在上截取，连接、；现需在的区内种植一种黄色花卉，在矩形内的其它区域种植一种红色花卉，已知种植这种黄色花卉每平方米需200元，种植这种红色花卉每平方米需180元，完成这两种花卉的种植至少需花费多少元？（结果保留整数，参考数据： 6．（2023•南海区一模）如图1，在矩形中，，，点在射线上运动，将沿翻折，使得点与点重合，连接交于点． （1）【初步探究】当点落在边上时，求的长； （2）【深入探究】在点的运动过程中，是否存在最小值，如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由； （3）【拓展延伸】如图3，点为的中点，连接，点在射线上运动过程中，求长的最大值． 7．（2023•北京一模）在平面直角坐标系中，的半径为1，为上一点，点． 对于点给出如下定义：将点绕点顺时针旋转，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“对应点”． （1）如图，已知点，点，点为点的“对应点”． ①在图中画出点； ②求证：； （2）点在轴正半轴上，且，点为点的“对应点”，连接，当点在上运动时，直接写出长的最大值与最小值的积（用含的式子表示）． 8．（2022•房山区模拟）对于平面直角坐标系中的图形和图形，给出如下定义：在图形上存在两点，（点，可以重合），在图形上存在两点，（点，可以重合）使得，则称图形和图形满足限距关系． （1）如图1，点，，，，点在线段上运动（点可以与点，重合），连接，． ①线段的最小值为 　　，最大值为 　　；线段的取值范围是 　　； ②在点，点中，点 　　与线段满足限距关系； （2）在（1）的条件下，如图2，的半径为1，线段与轴、轴正半轴分别交于点，，且，若线段与满足限距关系，求点横坐标的取值范围； （3）的半径为，点，是上的两个点，分别以，为圆心，2为半径作圆得到和，若对于任意点，，和都满足限距关系，直接写出的取值范围． 9．（2022•雁塔区校级二模）问题提出： （1）如图1，点、在上且，过点作，交于点，交于点，连接、，若，则线段的长度为 　　． 问题探究： （2）如图2，在中，，，求边长度的最大值； 问题解决： （3）如图3，某城市拟在河流、所夹半岛区域建一个湿地公园，公园的周长由亲水廊桥、、和绿化带四部分构成．其中、两定点间的距离为2000米．根据规划要求，、两点间的距离为600米，、两点到直线的距离相等，的中点到的距离比点到的距离多米；若修建时需保证与的和为120度，请判断这个湿地公园的周长是否存在最大值？若存在，请求出最大值．若不存在，请说明理由．（结果保留 题型二：胡不归模型（11题） 1．（2023•湘潭县三