精品解析：江苏省南京师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期期末模拟数学试卷

2023/2024学年度第一学期高三期末模拟测试 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求． 1. 王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”．其名篇“但使龙城飞将在，不教胡马度阴山”（人在阵地在，人不在阵地在不在不知道），由此推断，胡马度过阴山是龙城飞将不在的（ ） A. 既不充分也不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 充分不必要条件 2. 已知等比数列单调递增，且成等差数列，则当取最小值时，集合中元素之和为（ ） A. 36 B. 42 C. 54 D. 61 3. 在中，，且的面积为1，则的最小值为（ ） A B. C. D. 4. 已知，为两个相互垂直的单位向量，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 图1是世界上单口半径最大、灵敏度最高的射电望远镜“中国天眼”——口径抛物面射电望远镜，反射面的主体是一个抛物面（抛物线绕其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面），其边缘距离底部的落差约为156.25米，它的一个轴截面开口向上的抛物线C的一部分，放入如图2所示的平面直角坐标系内，已知该抛物线上点P到底部水平线（x轴）距离为，则点到该抛物线焦点F的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 设实数，若不等式对恒成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是定义在上函数，且满足为偶函数，为奇函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数的周期为2 B. 函数关于直线对称 C. 函数关于点中心对称 D. 8. 已知，函数，若，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 设数列前项和为，满足且，则下列选项正确的是（ ） A. B. 数列为等差数列 C. 当时有最大值 D. 设，则当或时数列的前项和取最大值 10. 已知实数a，b满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，长方体中，，点是半圆弧上的动点（不包括端点），点是半圆弧上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（ ） A. 的取值范围是 B. 若与平面所成的角为，则 C. 的最小值为 D. 若三棱锥的外接球表面积为，则 12. 已知函数的零点为，函数的零点为，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题 13. 若存在两个不等的正实数，，使得成立，则实数的取值范围为___________. 14. 已知，是椭圆的左右顶点，是双曲线在第一象限上的一点，直线，分别交椭圆于另外的点，．若直线过椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为________． 15. 在中，，且的面积为1，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 16. 已知和是两个等差数列，且是常值，若，则的通项公式为_____________． 四、解答题 17. 不等式对一切实数x恒成立的k的取值集合为A，集合. （1）求集合A； （2）若___________，求实数m的取值范围． 在①；②“ ​”是“​”充分条件；③“”是“”的必要条件这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并给出解答． 18. 已知ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量，且， （1）若，求A及tanC的值； （2）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围. 19. 如图，平面五边形中，△是边长为2的等边三角形，，，，将△沿翻折，使点翻折到点． （1）证明：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 20. 为了解某市区高中学生的阅读时间，从该市区随机抽取了800名学生进行调查，得到了这800名学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值； （2）为进一步了解这800名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记周平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望； （3）以样本的频率估计概率，从该市区学生周平均阅读时间在内中随机抽取20名学生．这20名学生中，周平均阅读时间在内的学生最可能有多少名？ 21. 如图，，是椭圆：的两个顶点，，直线的斜率为，是椭圆长轴上的一个动点，设点. （1）求椭圆的方程； （2）设直线：与，轴分别交于点，，与椭圆相交于，.证明：的面积等于的面积. （3）在（2）的条件下证明：为定值. 22. 已知函数. （1）若当时，，求实数的取值范围； （2）求证： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023/2024学年度第一学期高三期末模拟测试 数学试卷 一、选择题