专题3-3 几何法求线线角，线面角与二面角11类题型-2023-2024学年高一下学期数学模型·方法·技巧专题突破（人教A版2019必修第二册）

专题3-3 几何法求线线角，线面角与二面角11类题型 知识点梳理 题型一 直接平移求异面直线夹角 题型二 构造中位线求异面直线夹角 题型三 平移加构造中位线求异面直线夹角 题型四 求线面角 题型五 找交线求线面角 题型六 定义法求二面角 题型七 三垂线法求二面角 题型八 作2次交线的垂线求二面角 题型九 投影面积法求二面角 题型十 把二面角转换成线线角 题型十一 已知二面角求其它量 【巩固练习】 知识点梳理 一、求异面直线夹角常用方法：平移线段或构造中位线，范围 注：异面直线和相交直线夹角的取值范围是，平行直线与重合直线的夹角为0° 二、求线面角常用方法：直线上取一点往平面作垂线段，范围 如图，作直线AB∩α＝B，作AH⊥α于H，∠ABH即为所求 三、二面角与面面角 （1）二面角与面面角的区别 二面角的平面角建立在两个半平面的基础上，是一个张角概念，衡量打开程度；而平面与平面的夹角建立在两个整平面的基础上，类似于两条相交直线形成两组对顶角，人为选择不超过90°的角作为面面角二面角的平面角建立在两个半平面的基础上，是一个张角概念，衡量打开程度；而平面与平面的夹角建立在两个整平面的基础上，类似于两条相交直线形成两组对顶角，人为选择不超过90°的角作为面面角 二面角：由一条直线引出的2个半平面所成夹角，范围 面面角：两个平面的夹角，范围 （2）常用方法介绍 一、定义法：交线上取点等腰三角形共底边时 作二面角步骤 第一步：在交线l上取一点O 第二步：在α平面内过O点作l的垂线OA 第三步：在β平面内过O点作l的垂线OB ∠AOB即为二面角，余弦定理求角 二、三垂线法（先作面的垂直）—后续计算小 使用情况：已知其中某个平面的垂线段 第二步：过垂直B作l的垂线OB ∠AOB即为二面角 且△AOB为直角三角形，邻比斜 三、作2次交线的垂线 作二面角步骤 第一步：作AO⊥l 第二步：作OB⊥l 连接AB，∠AOB即为二面角，余弦定理求角 四、转换成线面角 作二面角步骤 第一步：作AO⊥l 第二步：作AB⊥β(找不到垂足B的位置用等体积求AB长) 连接AB，∠AOB即为二面角 △AOB为直角三角形，邻比斜 五、转换成线线角—计算小，也是法向量的原理 提问：什么时候用？ 若α平面存在垂线AB，且β平面存在垂线AC 则α平面与β平面的夹角等于直线AC与AB的夹角 六、投影面积法——面积比（三垂线法进阶） 将＝边之比面积之比，从一维到二维，可多角度求出两面积，最后求解 如图△ABC在平面α上的投影为△A1BC， 则平面α与平面ABC的夹角余弦值 即 补充：即使交线没有画出来也可以直接用 题型一 直接平移求异面直线夹角 【例题讲解】 1． （2022下·四川宜宾·高一四川省高县中学校校考期末）如图所示，在长方体中，，，点E，F，G分别是，，的中点，则异面直线与所成的角是 . 【巩固练习】 2． （2023上·浙江·高二温州中学校联考期中）已知长方体，，，则直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3． （2010下·吉林长春·高一统考期末）如图，在正方体中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于 ． 4． （2022下·浙江宁波·高一统考期末）已知是正方体的棱的中点，过、、三点作平面与平面相交，交线为，则直线与所成角的余弦值为 . 5． （2023下·湖北武汉·高一校联考期末）如图所示，在三棱柱中，侧面是边长为2的菱形，侧面为正方形，平面平面ABC.点M为的中点，N为AB的中点，异面直线AC与所成的角为.    (1)证明：平面；(2)求四棱锥的体积. 题型二 构造中位线求异面直线夹角 【例题讲解】 6． （2023下·江苏常州·高一常州市第一中学校考期末）如图，在三棱锥中，，且，，分别是棱，的中点，则和所成的角等于 . 7． （2023下·陕西榆林·高一统考期末）在正方体 中，、分别是面和的中心， 则和所成的角是 ． 【巩固练习】 8． （2023下·青海西宁·高三统考开学考试）在正四面体中，D为的中点，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 9． （2022下·全国·高一期末）如图，在三棱锥中，，且，E，F分别是棱，的中点，则和所成的角等于 ． 10． （浙江温州·高一统考期末）如图，在四面体中，，，、分别为、的中点，，则异面直线与所成的角是 ． 11． （天津高一耀华中学校考期末）如图，已知空间四边形的四条边以及对角线的长均为2，M､N分别是与的中点，则异面直线和所成角的余弦值为