河北省武邑中学2023-2024学年高三上学期1月期末考试数学试题

数学试题 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前请仔细阅读答题卡（纸）上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 3．选择题答案涂在答题卡上，非选择题答案写在答题卡上相应位置，在试卷和草稿纸上作答无效． 第Ⅰ卷 选择题（共60分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，将正确答案填涂在答题卡上． 1. 已知集合，，则集合的非空真子集的个数为（ ） A. 14 B. 15 C. 30 D. 62 2. 已知复数满足（i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知两个非零向量的夹角为，且，则（ ） A. B. C. D. 3 4. 羽毛球运动是一项全民喜爱的体育运动，标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为7cm，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶端所围成圆的直径是6cm，底部所围成圆的直径是2cm，据此可估算得球托之外羽毛所在的曲面的展开图的圆心角为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在上单调递增，则的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 6. 甲､乙､丙､丁､戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在小区概率为（ ） A. B. C. D. 7. 若斜率为1的直线与曲线和圆都相切，则实数的值为（ ） A. 0或2 B. 0或 C. 2 D. 8. 已知为坐标原点，椭圆：，平行四边形三个顶点A，，在椭圆上，若直线和的斜率乘积为，四边形的面积为，则椭圆的方程为（ ） A B. C. D. 二、多选题（本大题共4小题，每小题至少有两个正确答案，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分，共20分） 9. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件 “第一次出现2点”，“第二次的点数小于5点”，“两次点数之和为奇数”，“两次点数之和为9”，则下列说法正确的有（ ） A. 与不互斥且相互独立 B. 与互斥且不相互独立 C. 与互斥且不相互独立 D. 与不互斥且相互独立 10. 已知正实数满足，当取最小值时，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为1 D. 的最小值为 11. 已知正方体的棱长为2，棱AB的中点为M，点N在正方体的内部及其表面运动，使得平面，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 当最大时，MN与BC所成的角为 C. 正方体每个面与点N的轨迹所在平面夹角都相等 D. 若，则点N的轨迹长度为 12. 已知奇函数，，且，当时，，当时，，下列说法正确的是（ ） A. 是周期为的函数 B. 是最小正周期为的函数 C. 关于中心对称 D. 直线与若有3个交点，则 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡上相应位置． 13. 展开式中含项的系数为__________. 14. 将顶点在原点，始边为轴非负半轴的锐角的终边绕原点逆时针转过后，交单位圆于点，那么的值为_______． 15. 过点的直线与抛物线交于两点，为抛物线的焦点，，若，则的值为_______． 16. 由正整数组成的数对按规律排列如下：，．若数对满足，则数对排在第_______位． 四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C，且． （1）求证：； （2）求的最大值． 18. 如图，三棱柱，点在平面内的射影在AC上，且． （1）求证：； （2）求二面角的余弦值． 19. 已知正项数列的前项积为，且满足． （1）求证：数列为等比数列，并求； （2）若，求的最小值． 20. 高性能计算芯片是一切人工智能的基础．国内某企业已快速启动AI芯片试生产，试产期需进行产品检测，检测包括智能检测和人工检测．智能检测在生产线上自动完成，包括安全检测、蓄能检测、性能检测等三项指标，且智能检测三项指标达标的概率分别为，，，人工检测仅对智能检测达标（即三项指标均达标）的产品进行抽样检测，且仅设置一个综合指标．人工检测综合指标不达标的概率为． （1）求每个AI芯片智能检测不达标的概率； （2）人工检测抽检50个AI芯片，记恰有1个不达标的概率为，当时，取得最大值，求； （3）若AI芯片的合格率不超过93%，则需对生产工序进行改