17.3一元二次方程根的判别式 课件 2023—2024学年沪科版数学八年级下册

17.3 一元二次程 的判别式 八年级下 沪科版 1. 了解一元二次方程根的判别式； 2. 会应用根的判别式判断一元二次方程根的情况； 3. 能够应用根的判别式解决简单的一元二次方程根的问题. 学习目标 重点 重点 难点 2. 一元二次方程的求根公式是什么？ 1.一元二次方程的一般形式是什么？ ax2+bx+c=0(a≠0) 新课引入 观察上面的式子，思考b2 - 4ac 的值会怎样影响方程的根呢？ 在前面的学习中，你是否注意到：方程 ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）有实数根的条件是什么？何时有两个相等的实数根？何时有两个不相等的实数根？ 交流 新知学习 接下来我们一起来探究这些问题吧！ 回顾：用配方法解方程 ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0). 解：二次项系数化为 1，得 x2 + x + = 0. 配方，得 x2 + x + ( )2 = ( )2 - . 即 (x + )2 = 问题1：接下来能直接开平方吗？ 不能盲目开方 探究 问题2：什么情况下可以直接开平方？什么情况下不能直接开？ 我们知道，(x + )2≥0，4a2＞0. 当 b2–4ac＞0 时，x1 = ，x2 = 当 b2–4ac = 0 时，x1 = x2 = 当 b2–4ac＜0 时，不能开方(负数没有平方根)， 所以此时原方程没有实数根. 两个相等的实数根 归纳 这里的 b2－4ac 叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号 Δ 表示， 即 Δ＝b2－4ac. 并且有： ax2 + bx + c = 0(a≠0) b2 - 4ac ＞ 0 b2 - 4ac = 0 b2 - 4ac ＜ 0 两个不相等的实数根 无实数根 例1 不解方程，判别下列方程根的情况： （1）5x2 – 3x – 2 = 0； （2）25y2 + 4 = 20y； 解：(1)因为Δ＝(－3)2－4×5×(－2)＝49＞0, 所以原方程有两个不相等的实数根. (2)原方程可变形为 25y2－20y＋4＝0. 因为 Δ＝(－20)2－4×25×4＝0， 所以原方程有两个相等的实数根. 因为Δ＝ －4×2×l＝－5＜0, 所以原方程没有实数根. （3）2x2 + x + 1 = 0. 例2 已知一元二次方程 x2 + x = 1，下列判断正确的是( ) A. 该方程有两个相等的实数根 B. 该方程有两个不相等的实数根 C. 该方程无实数根 D. 该方程根的情况不确定 解析：原方程变形为 x2 + x - 1 = 0. ∵ Δ = 12 - 4×1×(-1) = 5＞0，∴ 该方程有两个不相等的实数根. B 归纳 利用根的判别式来判断一元二次方程根的情况： 1.化为一般式，确定a,b,c的值； 2.计算Δ的值，确定Δ的符号； 3.判别根的情况，得出结论. 思考 若关于x的一元二次方程 有两个实根，你能求出m的取值范围吗？ 解：因为方程有两个实数根， ≥0 ∴ m≤1 ∴Δ=b2 - 4ac = ( -2 )2 - 4 × 1 × m =4 -4m ≥ 0， 例3 求证:不论m为何值,关于x 的方程 总有两个不相等的实数根 ∴不论m为何值,方程总有两个不相等的实数根 解：∵Δ= 4m2-4(-2m-4) = 4m2 + 8m +16 =4(m2+2m+1)+12 =4(m +1)+12 >0 0 4 有两个相等的实数根 没有实数根 有两个不相等的实数根 1.按要求完成下列表格： Δ的值 根的情况 随堂练习 2. 不解方程，判断下列方程的根的情况． （1）2y²＋5y＋6＝0; （2）4x2=12x－9. 解：（1）∵b2－4ac ＝5²－4×2×6＝25－48 ＝－23<0, ∴方程2y²＋5y＋6＝0没有实数根. （2）方程化为：4x2－12x+9=0， ∴b2－4ac=(－12)2－4×4×9=0. ∴方程有两个相等的实数根． 3.已知a、b、c是△ABC的三边长，且关于x的一元二次方程a(1＋x2)