湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年高三上学期月考（五）（1月期末）数学试卷

雅礼中学2024届高三月考试卷（五） 数学 命题人：陈朝阳 审题人：伊波 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页.时量120分钟，满分150分. 第I卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C D. 2. 若实数、满足，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线上的点到其焦点的最短距离为 A. 4 B. 2 C. 1 D. 4. 设向量满足， ，则= A 1 B. 2 C. 3 D. 5 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是大小的，即441个点，根据0和1的二进制编码，一共有种不同的码.假设我们1秒钟用掉1万个二维码，1万年约为秒，那么大约可以用（ ）（参考数据：） A. 万年 B. 117万年 C. 万年 D. 205万年 7. 记为数列的前项和，给出以下条件，其中一定可以推出为等比数列的条件是（ ） A. B. C. D. 是等比数列 8. 拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中（），为非零常数，则（ ） A. 两组样本数据样本平均数可能相同 B. 两组样本数据的样本中位数一定不同 C. 两组样本数据的样本标准差可能相同 D. 两组样本数据的样本极差一定不同 10. 已知圆：，则下列说法正确的是（ ） A. 点在圆M内 B. 圆M关于对称 C. 半径为 D. 直线与圆M相切 11. 已知函数的定义域为，，则（ ） A. B. C. 为奇函数 D. 没有极值点 12. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立，发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为.若在信道内依次发送信号1，0，为了检验，收到信号的一端将收到的信号发回到输入端.下列说法正确的是（ ） A. “收到的信号为1，0”是“传回的信号为1，0”的充分条件 B. “收到的信号为1，0”与“传回的信号为1，0”不一定是相互独立的 C. 若，则事件“传回的信号为1，0”的概率一定大于0.25 D. 若，，则事件“传回的信号为1，0”的概率为31.68% 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若复数，则__________. 14. 双曲线的顶点坐标为_________. 15. 已知函数在上恰有一个极值点，则取值范围是__________. 16. 在长方体中，已知，，分别为，的中点，则平面被三棱锥外接球截得的截面圆面积为___________. 四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 设数列的前n项和为，若． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 18. 已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且的面积为. （1）若，求的值； （2）当角A为何值时，取得最大值，并求出该值. 19. 如图，圆台下底面圆的直径为， 是圆上异于的点，且，为上底面圆的一条直径，是边长为的等边三角形，. （1）证明：平面； （2）求平面和平面夹角的余弦值. 20. 已知函数. （I）当时，求曲线在处的切线方程； （Ⅱ）若当时，，求的取值范围. 21. 设分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且点和关于点对称. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过右焦点的直线与椭圆相交于两点，过点且平行于的直线与椭圆交于另一点，问是否存在直线，使得四边形的对角线互相平分？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由. 22. 某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗.该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染，现有只白鼠，每只白鼠在接触病鼠后被感染的概率为，被感染的白鼠数用随机变量X表示，假设每只白鼠是否被感染之间相互独立 （1）若，求数学期望； （2）接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为，现有两个不同的研究团队理论研究发现概率与参数的取值有关.团队A提出函数模型为，团队B提出函数模型为.现将10