河南省驻马店市2023-2024学年高二上学期1月期终考试数学试题

驻马店市2023~2024学年度第一学期期终考试 高二数学试题 本试题卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试题卷上答题无效． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写（涂）在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号，姓名是否一致． 2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题上作答，答案无效． 3．考试结束，监考教师将答题卡收回． 第I卷（选择题 共60分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知两条不重合直线和．若，则实数的值为（ ） A. B. C. 1 D. 或1 4. 在平行六面体中，是平行四边形的对角线的交点，为的中点，记，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 钟表面上有12个时刻整点，从中任选3个整点，则此3点能构成直角三角形的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 在四棱锥中，底面为正方形，底面分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，点分别在x轴和y轴上运动，且，点和点P满足，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 2023年杭州亚运会是疫情之后我国举办的一项重大赛事，它不仅向世界展示了我国强大的综合实力，更体现了我国青年的奉献精神和志愿力量．运动会期间甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者站成一排拍照留念，其中甲和乙相邻，甲和丙不相邻，则不同的排列方式共有（ ）种． A. 24 B. 32 C. 36 D. 40 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知曲线，下列命题错误是（ ） A. 若，则双曲线 B. 若，则是椭圆 C. 若，则是圆 D. 若，则是两条直线 10. 有4个相同的球，分别标有数字，从中不放回随机取两次，每次取1个球，表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则下列关系成立的是（ ） A. 与相互独立 B. 与相互独立 C. 与相互独立 D. 与相互独立 11. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 法国著名数学家蒙日首先发现椭圆两条互相垂直的切线的交点轨迹是以椭圆的中心为圆心的圆，后来这个圆被称为蒙日圆．已知椭圆，其蒙日圆为圆，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列选项正确的是（ ） A. 圆的方程为 B. 四边形面积的最小值为4 C. 的最小值为 D. 当点为时，直线的方程为 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上． 13. 在空间直角坐标系中，，则点B到直线的距离为_________． 14. 已知的展开式中常数项为，则________． 15. 中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设空间站要安排甲、乙、丙、丁4名航天员开展实验，每名航天员只能去一个舱，每个舱至少安排一个人，则甲被安排在天和核心舱的条件下，乙也被安排在天和核心舱的概率为_________． 16. 如图，椭圆和有相同的焦点，离心率分别为为椭圆的上顶点，与椭圆交于点B，若，则的最小值为_________． 四、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤． 17. 公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中证明了平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，这个圆被称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，，动点Q满足，设动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）直线与曲线交于两点，若，从中任选一个值，求此时相应的弦长． 18. 已知P是抛物线准线上任意一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为． （1）若点P纵坐标为0，求此时抛物线C的切线方程； （2）设直线的斜率分别为，求证：为定值． 19. 如图，和所在平面互相垂直，且，. （1）求证：； （2）求平面和平面夹角