福建省泉州市2023-2024学年高二上学期1月期末教学质量监测数学试题

福建省泉州市2023-2024学年高二上学期1月期末教学质量监测数学试题 本试卷共22题，满分150分，共8页.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效. 3．选择题答案使用铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的倾斜角为，若直线与垂直，则的斜率为（ ） A B. C. D. 2. 已知数列满足，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 3. 椭圆绕长轴旋转所成的面为椭球面，椭球面镜一般指椭球面反射镜，老花眼镜、放大镜和胶片电影放映机聚光灯的反射镜等镜片都是这种椭球面镜片．从椭球面镜的一个焦点发出的光，经过椭球面镜反射后，必经过椭球面镜的另一个焦点．现有一个轴截面长轴长为的椭球面镜，从其一焦点发出的光经两次反射后返回原焦点，所经过的路程为（ ） A. B. C. D. 4. 四棱锥的底面为矩形，平面，在棱上，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知为双曲线的两个焦点，为双曲线上的任意一点，若的最小值为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 6. 已知是等差数列的前项和，若，则使的最小整数（ ） A. 12 B. 13 C. 24 D. 25 7. 已知，若直线上有且只有一点满足，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 棱长为的正方体中，，分别为，的中点，点在正方体的表面上运动，若，则的最大值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分. 9. 已知圆和圆，则（ ） A. 两圆的公共弦所在的直线方程为 B. 圆上到直线的距离为1的点恰有2个 C. 圆的内部与圆的内部的公共部分的周长为 D. 若点在圆上，点在圆上，则的最大值为6 10. 已知空间向量，则（ ） A. B. 在上的投影向量为 C. 若向量，则点在平面内 D. 向量是与平行一个单位向量 11. 已知分别是数列的前项和，，则（ ） A B. C. D. 12. 已知曲线（为非零常数），则（ ） A. 原点是的对称中心 B. 直线与恒有两个交点 C. 当时，直线是的渐近线 D. 当时，直线为的对称轴 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡相应位置. 13. 直线恒过定点______. 14. 已知是抛物线上纵坐标为4的点，则与的焦点的距离为______. 15. 在空间直角坐标系中，若平面过点，且以向量不全为零为法向量，则平面的方程为．已知平面的方程为，则点到平面平面的距离为______. 16. 已知是数列的前项和，，且，，，则______. 四、解答题：本大题共6题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知，圆为的外接圆． （1）求圆的方程； （2）若过点的直线被截得的弦长为，求直线的方程． 18. 已知数列为递增的等差数列，为和的等比中项． （1）求数列通项公式； （2）若，求数列的前项和． 19. 已知动圆过点且与直线相切，记该动圆圆心的轨迹为曲线． （1）求的方程； （2）若过点直线交于两点，且，求的面积． 20. 三棱台中，． （1）若与交于点，求证：平面； （2）若平面平面与底面所成角的正切值为，求平面与平面夹角的余弦值． 21. 第二十四届北京冬季奥林匹克运动会开幕式上的主火炬如图一，这是历史上第一座由所有参赛国家和地区的名字汇聚成的大雪花．没有天马行空的点火方式，也没有赫赫炎炎的剧烈燃烧，但却清晰地传递了低碳环保理念，一朵雪花照亮了“双奥之城”北京，也将照亮全人类的绿色未来．如图二是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，其作法是从一个正三角形开始，把每条边三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，，反复进行这一过程，就得到一个“雪花”状的图案．已知原正三角形（图二①）的边长为3，并将图二中的第个图的面积记为． （1）求； （2）求数列的通项公式，并探究是否存在超过图二①面积2倍的图形． 22. 已知椭圆与轴交于两点，点为椭圆上不同于的点. （1）若直线的斜