福建省福州第二中学2023-2024学年高二上学期第二学段考试数学试题

福建省福州第二中学2023-2024学年高二上学期第二学段考试数学试题 (满分:150分，考试时间:120分钟) 命题:高二数学集备组 审核:林雄 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在等比数列中，是方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 3. 正方形的边长是2，是的中点，则（ ） A B. 3 C. D. 5 4. 关于函数，给出下列四个判断： ①的解集是； ②有极小值也有极大值； ③无最大值，也无最小值； ④有最大值，无最小值. 其中判断正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③ D. ①④ 5. 从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的正切值为（ ） A. B. C. D. 0 6. 记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）． A. 120 B. 85 C. D. 7. 如图，已知在中，，点在边上，且满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的渐近线方程为 ，分别是双曲线的左、右焦点，点，，点为线段上的动点，当取得最小值时，的面积为（ ） A. B. C. 2 D. 二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知向量，且，则下列选项正确的是（ ） A. 能作为平面内所有向量的一组基底 B. 是与夹角是锐角的充要条件 C. 向量与向量的夹角是 D. 向量在向量上的投影向量坐标是 10. 设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）． A B. C. 以MN为直径的圆与l相切 D. 为等腰三角形 11. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量的总和.大衍数列从第一项起依次为0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，….记大衍数列的前项和为，其通项公式 .则（ ） 参考公式： A. 是数列中的项 B. C. D. 12. 如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 直线到平面的距离为2 C. 点到直线的距离为 D. 平面截正方体的截面的面积为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 数列的前项的和，则此数列的通项公式______. 14. 已知函数，则在点处切线方程为______． 15. 函数的最小值为______. 16. 欧拉是十八世纪数学界最杰出的人物之一，他不但在数学上作出伟大的贡献，而且把数学用到了几乎整个物理领域．函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数．在数论中，对于正整数n，是不大于n的正整数中与n互质的数的个数，例如：，则________． 四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知数列的前项和为，且满足，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求前项和为. 18. 已知，求： （1）的最小正周期及单调递增区间； （2）时，恒成立，求实数的范围． 19. 已知函数 ． （1）若是的一个极值点，求值及的单调区间； （2）当时，求在区间上的最值． 20. 在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面为中点. （1）如果与平面所成的线面角为，求证：平面. （2）当与平面所成角的正弦值最大时，求三棱锥的体积. 21. 我国某西部地区要进行沙漠治理，已知某年（第1年）年底该地区有土地1万平方千米，其中是沙漠．从第2年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造成绿洲，同时原有绿洲的被沙漠所侵蚀又变成沙漠．设第年绿洲面积为万平方千米． （1）求第年绿洲面积（单位：万平方千米）与上一年绿洲面积（单位：万平方千米）之间的数量关系（）； （2）求数列的通项公式； （3）至少经过年，绿洲面积可超过，求的值．（参考数据：） 22. 在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，是动点，且直线与的斜率之积等于． （1）求动点的轨迹的方程； （2）设是曲线的左焦点，过点的直线与曲线相交于，两点，．若的面积为1，求直线的方程． 福建省福州第二中学2023-2024学年高二上学期第二学段考试数学试题 (满分:150分，考试时间:120分钟) 命题:高二数学集备组 审核:林雄 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题