（8）解析几何解答题题型强化练-2024届高考数学二轮复习

（8）解答题————2024届高考数学二轮复习 解析几何题型强化练【新课标版】 1.已知抛物线的焦点为F，点在C上，且． （1）求C的方程; （2）若不过点M的直线l与C相交于A，B两点，且直线MA，MB的斜率之积为1，证明：直线l过定点． 2.已知椭圆的离心率为，其右焦点到直线的距离为． （1）求C的方程． （2）若点A为椭圆C的上顶点，是否存在斜率为k的直线l，使l与椭圆C交于不同的两点M、N，且？若存在，请求出k的取值范围;若不存在，请说明理由． 3.已知双曲线的焦距为，点在C上． （1）求C的方程; （2），分别为C的左、右焦点，过C外一点P作C的两条切线，切点分别为A，B，若直线PA、PB互相垂直，求周长的最大值． 4.已知椭圆的焦距为2，点在椭圆C上，A，B分别为椭圆的左，右顶点. （1）求椭圆C的方程; （2）若点P是椭圆C上第二象限内的点，点Q在直线上，且，，求的面积. 5.已知点在双曲线上. （1）已知点Q为双曲线右支上除右顶点外的任意点，证明:点Q到C的两条渐近线的距离之积为定值; （2）已知点，过点P作动直线l与双曲线右支交于不同的两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点H，满足，证明:点H恒在一条定直线上. 6.已知椭圆的左焦点为． （1）设M是C上任意一点，M到直线的距离为d，证明：为定值． （2）过点且斜率为k的直线与C自左向右交于A，B两点，点Q在线段AB上，且，，O为坐标原点，证明：． 7.已知直线与抛物线交于A，B两点，且. （1）求p; （2）设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值. 8.已知双曲线的渐近线方程为，点在C上. （1）求C的方程; （2）过点的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，求证:线段MN的中点为定点. 9.已知抛物线的焦点为F，点F到直线的距离为. （1）求抛物线C的方程; （2）点O为坐标原点，直线，经过点，斜率为的直线与抛物线C交于A，B两点，斜率为的直线与抛物线C交于D，E两点，记，若，求的最小值. 10.已知椭圆，其离心率为，右焦点为F，两焦点与短轴两端点围成的四边形面积为. （1）求椭圆C的标准方程: （2）直线l与椭圆有唯一的公共点M，M在第一象限，此直线l与y轴的正半轴交于点N，直线NF与直线OM交于点P且，求直线l的斜率. 答案以及解析 1.答案：（1） （2） 解析：（1）因为抛物线，所以准线方程为， 因为点在C上，所以由抛物线焦半径公式得，， 联立，解得或（由于，舍去）， 所以抛物线C方程为. （2）依题意，易知，直线l的斜率存在（若不存在，则与抛物线至多只有一个交点）， 设直线l为，， 联立，消去y，得， 则，， 因为直线MA，MB的斜率之积为1，即， 故， 整理得， 所以，得，故直线l为， 所以直线l过定点. 2.答案：（1） （2） 解析：（1）由题意可知，点到直线的距离为，解得， 又因为，则，所以，， 因此，椭圆C的方程为. （2）易知点，设直线l的方程为，设点、， 联立可得， ，可得， 由韦达定理可得，， 若，则轴，此时M、N关于y轴对称，则; 若，则，， 所以，线段MN的中点为， 则，所以，， 所以，，解得且 综上所述，实数k的取值范围是. 3.答案：（1） （2） 解析：（1）依题意可得，解得， 所以双曲线C的方程为. （2）依题意PA、PB的斜率均存在，设，过点P且与C相切的直线l为， 由，整理得， 则，整理得， 将代入l得，则， 所以， 因为直线PA、PB互相垂直， 所以，即， 则，， 所以，所以，当且仅当时取等号， 因为，所以周长的最大值为. 4.答案：（1） （2） 解析：（1）由椭圆C的焦距为2，故，则， 又椭圆C经过点，代入C得，解得，， 所以椭圆C的方程为. （2）由题:，，设，，显然，，， ，则点P满足:① 又， ② 联立①②得，解得， 又点P在第二象限，且满足， ，， 把，，代入①得， 又，，直线AP方程为:， 点Q到直线AP的距离， . 5.答案：（1）证明见解析 （2）证明见解析 解析:（1）将代入双曲线中，，解得，故双曲线方程为， 设点Q的坐标为，则，即. 双曲线的两条渐近线，的方程分别为，， 则点Q到两条渐近线的距离分别为，， 则. 所以点Q到双曲线C的两条渐近线的距离之积为定值. （2）若直线l斜率不存在，此时直线l与双曲线右支无交点，不合题意，不满足条件， 故直线l斜率存在，设直线方程，与联立得 ，则， 因为恒成立，所以，故， 解得:，设，， 则，， 设点H的坐标为，则由得，， 变形得到， 将，代入，解得， 将代入中，解得， 则， 故点H恒在一条定直线上. 6.答案：（1）证明见解析 （2）证明见解析 解析：（1）因为椭圆的左焦点为， 所以，即， 设，则，即， 所以