课时达标检测(21) 利用导数解决实际问题-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教B版）

课时达标检测(二十一)　利用导数解决实际问题 学生用书P103 基础达标 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.以长为10的线段AB为直径画半圆,则它的内接矩形面积的最大值为 (C) A.10 B.15 C.25 D.50 解析　设内接矩形的长为x,面积为S,则宽为,所以S2=x2·25-(0<x<10),所以(S2)'=50x-x3。令(S2)'=0,得x=5或x=0(舍去)或x=-5(舍去),故当x=5时,S2取得最大值625,故Smax=25。 2.某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品。若该商品零售价定为P元,销售量为Q件,则销售量Q(单位:件)与零售价P(单位:元)有如下关系:Q=8 300-170P-P2,则最大毛利润为(毛利润=销售收入-进货支出) (D) A.30元 B.60元 C.28 000元 D.23 000元 解析　设毛利润为L(P),由题意知,L(P)=PQ-20Q=(8 300-170P-P2)(P-20)=-P3-150P2+11 700P-166 000。所以L'(P)=-3P2-300P+11 700。令L'(P)=0,解得P=30或P=-130(舍去)。此时,L(30)=23 000。根据实际问题的意义知,L(30)是最大值,即零售价定为每件30元时,最大毛利润为23 000元。 3.设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V,那么其表面积最小时,底面边长为 (C) A. B. C. D.2 解析　设直棱柱的底面边长为x,则表面积S=x2+V(x>0),S'=(x3-4V),令S'=0,得唯一极值点x=。 4.一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比。已知速度为10 km/h时,燃料费是每小时6元,而其他与速度无关的费用是每小时96元,要使航行每千米的总费用和最小,则此轮船的速度为 (B) A.25 km/h B.20 km/h C.15 km/h D.30 km/h 解析　因为轮船航行中的燃料费和它的速度的立方成正比,可设比例系数为k,则6=k·103,求得k=,所以航行每千米的总费用为y=96+v3·,利用导数可求得当y取最小值时v=20 km/h。 5.若一球的半径为r,作内接于球的圆柱,则其侧面积最大为 (A) A.2πr2 B.πr2 C.4πr2 D.πr2 解析　设内接圆柱的底面半径为R(0<R<r),高为h,则(2R)2+h2=(2r)2,所以h=2,S侧=2πR·h=2πR·2=4πR,所以S'侧=4π,令S'侧=0,得R=r。所以S侧的最大值为4π·r·=2πr2。 6. 如图,内接于抛物线y=1-x2的矩形ABCD,其中A,B在抛物线上运动,C,D在x轴上运动,则此矩形的面积的最大值是 (D) A. B. C. D. 解析　设CD=x,则点C的坐标为,0,点B的坐标为,1-2,所以矩形ABCD的面积S=f(x)=x1-2=-+x(x∈(0,2))。由f'(x)=-x2+1=0,得x1=-(舍去),x2=,所以当x∈0,时,f'(x)>0,f(x)是单调递增的,当x∈,2时,f'(x)<0,f(x)是单调递减的,所以当x=时,f(x)取最大值。故选D。 7.如图,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析式为 (A) A.y=x3-x B.y=x3-x C.y=x3-x D.y=-x3+x 解析　设y=ax3+bx2+cx+d,因为图像经过原点,所以d=0。因为f(x)=-f(-x),所以b=0,将(-5,2)代入方程可得a=　①,y'=3ax2+c,将(-5,0)代入导数方程可以得出a=-c　②,联立①②可解得a=,c=-,即y=x3-x。故选A。 二、多项选择题 8.内接于半径为R的半圆且周长最大的矩形的相邻两边长分别为 (BC) A. B.R C.R D. 解析　设矩形与半圆直径垂直的一边的长为x,则另一边长为2,则矩形的周长l=2x+4(0<x<R),l'=2-,令l'=0,解得x1=R,x2=-R(舍去)。当0<x<R时,l'>0;当R<x<R时,l'<0。所以当x=R时,l取最大值,即周长最大的矩形的相邻两边长分别为R,R。故选BC。 三、填空题 9.甲乙两地相距240 km,汽车从甲地以速度v km/h匀速行驶到乙地。已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成,固定成本为160元,可变成本为v3元。为使全程运输成本最小,汽车应以 80 km/h 速度行驶。  解析　设全程运输成本为y元,由题意,得y=160+v3=240+v2(v>0),y'=240-+v。令y'=0,得v=80。当v>80时,y'>0;当0<v<80时,y'<