课时达标检测(20) 导数与函数的最值-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教B版）

课时达标检测(二十)　导数与函数的最值 学生用书P101 基础达标 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.函数f(x)=的最大值为 (B) A.0 B. C.e D.e2 解析　令f'(x)===0(x>0),解得x=e。当x>e时,f'(x)<0;当0<x<e时,f'(x)>0。所以极大值为f(e)=,又函数f(x)在定义域(0,+∞)内只有一个极值,所以最大值为。 2.函数f(x)=x+2cos x在区间-,0上的最小值是 (A) A.- B.2 C.+ D.+1 解析　f'(x)=1-2sin x,因为x∈-,0,所以sin x∈[-1,0],所以-2sin x∈[0,2]。所以f'(x)=1-2sin x>0在-,0上恒成立,所以f(x)在-,0上单调递增。故f(x)最小值=-+2cos-=-。 3.已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3,那么此函数在[-2,2]上的最小值是 (A) A.-37 B.-29 C.-5 D.以上都不对 解析　令f'(x)=6x2-12x=6x(x-2)>0,得x>2或x<0,所以f(x)在(-2,0)上为增函数,在(0,2)上为减函数,则当x=0时,f(x)=m最大,所以m=3,从而f(-2)=-37,f(2)=-5。故最小值为-37。故选A。 4.已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)=3,且f(x)的导数f'(x)在R上恒有f'(x)<2(x∈R),则不等式f(x)<2x+1的解集为 (A) A.(1,+∞) B.(-∞,-1) C.(-1,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 解析　令g(x)=f(x)-2x-1,所以g'(x)=f'(x)-2<0,所以g(x)在R上为减函数,且g(1)=f(1)-2-1=0。由g(x)<0=g(1),得x>1。 5.设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=ln x的图像分别交于点M,N,则当|MN|达到最小时t的值为 (D) A.1 B. C. D. 解析　由题意画出各函数大致图像如图所示,则可设|MN|=y=t2-ln t(t>0),所以y'=2t-==。当0<t<时,y'<0,可知y在此区间内单调递减;当t>时,y'>0,可知y在此区间内单调递增。故当t=时,|MN|有最小值。 6.已知函数f(x)=x4-2x3+3m,x∈R,若f(x)+9≥0恒成立,则实数m的取值范围是 (A) A.,+∞ B.,+∞ C.-∞, D.-∞, 解析　f'(x)=2x3-6x2,令f'(x)=0得x1=0,x2=3,验证可知x=3是函数f(x)的最小值点,故f(x)min=f(3)=3m-,由f(x)+9≥0恒成立得f(x)≥-9恒成立,即3m-≥-9,所以m≥。 二、多项选择题 7.函数f(x)=x+cos x在[0,π]上的 (CD) A.最大值为 B.最小值为0 C.最小值为1 D.最大值为π-1 解析　f'(x)=1-sin x,因为0≤x≤π,所以0≤sin x≤1,所以f'(x)≥0,所以f(x)在[0,π]上是增函数,所以f(x)max=f(π)=π-1,f(x)min=f(0)=1。故选CD。 8.若函数f(x)=sin xcos x+sin x,则对f'(x)的判断正确的是 (BC) A.是奇函数 B.是偶函数 C.最大值为2 D.最小值为0 解析　f'(x)=2cos2x+cos x-1,显然为偶函数。令cos x=t,t∈[-1,1],则y'=2t+2-∈-,2。故选BC。 三、填空题 9.函数y=+在(0,1)上的最大值为  。  解析　y'=-=·,由y'=0得x=。在0,上,y'>0,在,1上,y'<0。所以当x=时,y取得极大值,极大值为,又函数在(0,1)上只有一个极值,所以ymax=。 10.函数f(x)=ax4-4ax2+b(a>0,1≤x≤2)的最大值为3,最小值为-5。则a= 2 ,b= 3 。  解析　因为f'(x)=4ax3-8ax=4ax(x2-2),令f'(x)=0,解得x1=0,x2=-,x3=。因为∈[1,2],且当x=时,函数取极小值,故f()=4a-8a+b=-4a+b=-5,又f(1)=-3a+b,f(2)=b,a>0,故f(2)=b=3,故a=2。 11.已知不等式≤对任意正实数x恒成立,则实数k的取值范围是 0<k≤1 。  解析　设y=,则y'=,令y'=0,得ln(kx)=1,x=,所以为极大值点,ymax=,则由题意得≤,故0<k≤1。 四、解答题 12.已知函数f(x)=+ln x,求f(x)在,2上的最大值和最小值。 解　因为f(x)=+ln x=-1+ln x,所以f'(x)=-=。令f'(x)=0,得x=1