课时达标检测(19) 导数与函数的极值-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教B版）

课时达标检测(十九)　导数与函数的极值 学生用书P099 基础达标 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.函数y=6x2-x+5 (B) A.在x=处取得极大值 B.在x=处取得极小值 C.不存在极值 D.以上都不对 解析　根据y'=0解得x=,当x∈-∞,时,y'<0;当x∈,+∞时,y'>0,故是极小值点,极小值为。 2.已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a= (D) A.-9 B.-2 C.4 D.2 解析　因为f(x)=x3-12x,所以f'(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2),所以当x<-2或x>2时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当-2<x<2时,f'(x)<0,f(x)单调递减。所以当x=2时,f(x)有极小值,即函数的极小值点为2。 3.设函数f(x)=ax3+bx2+cx在x=1和x=-1处均有极值,f(-1)=-1,则a,b,c的值分别为 (C) A.,0,- B.-,0,- C.-,0, D.,0, 解析　f'(x)=3ax2+2bx+c,由题意得,解得 4.若函数y=ax3+bx2取得极大值和极小值时的x值分别为0和,则a,b之间的关系为 (D) A.a-2b=0 B.2a-b=0 C.2a+b=0 D.a+2b=0 解析　y'=3ax2+2bx,由题意知,0和是方程3ax2+2bx=0的两根,所以-=,所以a+2b=0。故选D。 5.设a∈R,若函数y=eax+3x,x∈R有大于零的极值点,则 (B) A.a>-3 B.a<-3 C.a>- D.a<- 解析　令y'=aeax+3=0,得eax=-。设x0为大于0的极值点,则=-。所以a<0,ax0<0。所以0<<1,即0<-<1。所以a<-3。 6.若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于 (D) A.2 B.3 C.6 D.9 解析　f'(x)=12x2-2ax-2b,因为函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,所以f'(1)=12-2a-2b=0,即a+b=6。则ab≤2=9(当且仅当a=b=3时,等号成立)。 二、多项选择题 7.如图是函数y=f(x)导函数的图像,对于下列四种说法正确的是 (BC) A.f(x)在区间[-2,-1]上是增函数 B.-1是f(x)的极小值点 C.f(x)在区间[-1,2]上是增函数,在区间[2,4]上是减函数 D.3是f(x)的极小值点 解析　根据导数与函数的单调性、极值之间的关系可判断。 8.已知函数f(x)=x3-px2-qx的图像与x轴切于点(1,0),则函数f(x)的极值是 (AD) A.极大值为 B.极大值为0 C.极小值为- D.极小值为0 解析　由题意得,f(1)=0,所以p+q=1　①。又f'(x)=3x2-2px-q,f'(1)=0,所以2p+q=3　②。由①,②得p=2,q=-1,所以f(x)=x3-2x2+x,f'(x)=3x2-4x+1=(3x-1)(x-1),令f'(x)=0,得x1=,x2=1,所以f(x)的极大值为f=,极小值为f(1)=0。 三、填空题 9.若函数f(x)=在x=1处取得极值,则a= 3 。  解析　f'(x)==,由题意得f'(1)==0,解得a=3。经检验,a=3符合题意。 10.函数y=的极大值为 1 ,极小值为 -1 。  解析　y'=,令y'>0得-1<x<1,令y'<0得x>1或x<-1,所以当x=-1时,y取极小值-1,当x=1时,y取极大值1。 11.曲线f(x)=x2+4ln x上切线斜率所构成的函数的极小值点是 2 。  解析　f'(x)=x+(x>0),设函数g(x)=x+(x>0),令g'(x)=1-=0,解得x=2。当x>2时,g'(x)>0;当0<x<2时,g'(x)<0,所以当x=2时g(x)取得极小值。 四、解答题 12.已知函数f(x)=x2ex,求f(x)的极小值和极大值。 解　f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x)=x(x+2)ex,当x变化时f(x)与f'(x)的变化情况如表: x (-∞,-2) -2 (-2,0) 0 (0,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 4e-2 ↘ 0 ↗ 故当x=-2时,f(x)取得极大值为f(-2)=4e-2,当x=0时,f(x)取得极小值为f(0)=0。 13.已知a,b是实数,1和-1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点。 (1)求a和b的值; (2)设函数g(x)的导函数g'(x)=f(x)+2,求g(x)的极值点。 解　(1)由题设知f'(x)=3x2+2ax+b,且f'(-1)=3-2a