课时达标检测(17) 求导法则及其应用-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教B版）

课时达标检测(十七)　求导法则及其应用 学生用书P095 基础达标 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.若函数f(x)=cos x,则f'+f的值为 (A) A.0 B.-1 C.1 D.2 解析　因为f(x)=cos x,所以f'(x)=-sin x。所以f'+f=-sin+cos=0。 2.已知f(x)=ax3+9x2+6x-7,若f'(-1)=4,则a的值等于 (B) A. B. C. D. 解析　因为f'(x)=3ax2+18x+6,所以由f'(-1)=4得3a-18+6=4,即a=。 3.函数y=x2cos 2x的导数为 (B) A.y'=2xcos 2x-x2sin 2x B.y'=2xcos 2x-2x2sin 2x C.y'=x2cos 2x-2xsin 2x D.y'=2xcos 2x+2x2sin 2x 解析　y'=(x2)'cos 2x+x2(cos 2x)'=2xcos 2x+x2(-sin 2x)·(2x)'=2xcos 2x-2x2sin 2x。 4.曲线y=x3-2x+1在点(1,0)处的切线方程为 (A) A.y=x-1 B.y=-x+1 C.y=2x-2 D.y=-2x+2 解析　因为y'=3x2-2,所以在点(1,0)处的切线的斜率为k=3×12-2=1,所以切线方程为y=x-1。故选A。 5.曲线f(x)=ex-3x+1在点(0,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 (D) A.2 B. C. D.1 解析　由题意得f'(x)=ex-3,所以k=f'(0)=e0-3=-2,所以切线方程为y-2=-2(x-0)=-2x,所以y=-2x+2,当x=0时,y=2;当y=0时,x=1。所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为×2×1=1。 6.若曲线f(x)=e-x+ax存在与直线2x-y=0平行的切线,则实数a的取值范围是 (D) A.(0,+∞) B.(2,e) C.(2+e,+∞) D.(2,+∞) 解析　f'(x)=-e-x+a,由题意,得关于x的方程-e-x+a=2有解,即e-x=a-2有解,所以a-2>0,所以a>2。故选D。 二、多项选择题 7.下列运算中不正确的是 (BCD) A.(ax2+bx+c)'=a(x2)'+b(x)' B.(cos x-2x2)'=(cos x)'-2'(x2)' C.(sin 2x)'=(sin x)'cos x+(cos x)'cos x D.2x-'=(2x)'+(x-2)' 8.若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+x-9(a≠0)都相切,则a等于 (AB) A.- B.-1 C. D.- 解析　因为y=x3,所以y'=3x2,设过点(1,0)的直线与曲线y=x3相切于点(x0,),则在点(x0,)处的切线斜率为k=3,所以切线方程为y-=3(x-x0),即y=3x-2。又点(1,0)在切线上,所以3-2=0,解得x0=0或x0=。当x0=0时,由直线y=0与曲线y=ax2+x-9(a≠0)相切可得方程ax2+x-9=0有一个实数根,此时Δ=2-4a×(-9)=0,解得a=-;当x0=时,由直线y=x-与曲线y=ax2+x-9相切,两方程联立消去y,得ax2-3x-=0,此时Δ=9-4×a×-=0,解得a=-1。综上可得,a=-1或a=-。 三、填空题 9.已知函数f(x)=x2·f'(2)+5x,则f'(2)= - 。  解析　因为f'(x)=f'(2)·2x+5,所以f'(2)=f'(2)×2×2+5,所以3f'(2)=-5,所以f'(2)=-。 10.若曲线f(x)=acos x与曲线g(x)=x2+bx+1在交点(0,m)处有公切线,则a+b的值为 1 。  解析　因为f'(x)=-asin x,所以f'(0)=0。又g'(x)=2x+b,所以g'(0)=b,所以b=0。又g(0)=1=m,所以f(0)=a=m=1,所以a+b=1。 11.已知坐标平面上的抛物线C:y=x2,过第一象限的点(a,a2)作曲线C的切线l,则l与y轴的交点Q的坐标为 (0,-a2) ,当l与x轴的夹角为30°时,a=  。  解析　因为y'=2x,点(a,a2)在抛物线C上,所以l:y-a2=2a(x-a)。令x=0得y=-a2,故Q(0,-a2)。又因为tan 30°=2a,所以a=。 四、解答题 12.求下列函数的导数: (1)y=+ln 2;(2)y=(+2)-2; (3)y=;(4)y=sin2。 解　(1)y'='+(ln 2)'==。 (2)因为y=·-2+-4=-2+2-3,所以y'=--=-1+。 (3)y'='==。 (4)解法一:因为y=sin2==-cos,所以y'=-cos'=--sin