课时达标检测(16) 基本初等函数的导数-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教B版）

课时达标检测(十六)　基本初等函数的导数 学生用书P093 基础达标 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.已知f(x)=,则f'(3)= (B) A.- B.- C. D. 解析　因为f(x)=,所以f'(x)=-,所以f'(3)=-=-。故选B。 2.下列运算正确的是 (D) A.(x5)'=x5ln 5 B.(lg x)'= C.(π5)'=5π4 D.(log2x)'= 解析　对于A,因为(x5)'=5x4,所以A错误;对于B,因为(lg x)'=,所以B错误;对于C,因为(π5)'=0,所以C错误;对于D,因为(log2x)'=,所以D正确。故选D。 3.曲线y=x2在点1,处切线的倾斜角为 (C) A.1 B.- C. D. 解析　因为y'=x,所以f'(1)=1,所以k=1=tan α,α=。 4.已知直线y=kx是曲线y=ln x的一条切线,则切点坐标为 (A) A.(e,1) B.,-1 C., D.与k有关 解析　设切点为(x0,y0),由题意得,f'(x0)==k,又y0=kx0,y0=ln x0,所以x0=e,y0=1,所求切点坐标为(e,1)。 5.P为曲线y=ln x上一动点,Q为直线y=x+1上一动点,则|PQ|min= (C) A.0 B. C. D.2 解析　如图,当直线l与y=ln x的图像相切且与直线y=x+1平行时,切点P到直线y=x+1的距离即为所求|PQ|的最小值。(ln x)'=,令=1,得x=1,故点P的坐标为(1,0),所以|PQ|min==。故选C。 二、多项选择题 6.下列结论正确的是 (ACD) A.若y=3,则y'=0 B.若y=,则y'=- C.若y=-,则y'=- D.若f(x)=3x,则f'(1)=3 解析　根据基本初等函数的导数,容易判断B错误,ACD正确。 7.已知函数f(x)=x3在点P处的导数值为3,则P点的坐标为 (BD) A.(-2,-8) B.(-1,-1) C.(2,8) D.(1,1) 解析　由f(x)=x3得f'(x)=3x2,令3x2=3,则x=±1,故P点的坐标为(-1,-1)或(1,1)。 三、填空题 8.已知f(x)=x2,g(x)=x3,则满足f'(x)+1=g'(x)的x值为 1或- 。  解析　因为f'(x)=2x,g'(x)=3x2,所以2x+1=3x2,得x=1或x=-。 9.过原点作曲线y=ex的切线,则切点的坐标为 (1,e) ,切线的斜率为 e 。  解析　(ex)'=ex,设切点坐标为(x0,),则过该点的切线的斜率为,所以所求切线方程为y-=(x-x0),因为切线过原点,所以-=-x0·,所以x0=1。所以切点为(1,e),斜率为e。 10.若曲线y=在点(a,)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,则a= 64 。  解析　因为y=,所以y'=-·,所以曲线在点(a,)处的切线斜率k=-,所以切线方程为y-=-(x-a)。令x=0得y=;令y=0得x=3a。因为该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S=×3a×==18,所以a=64。 四、解答题 11.求与曲线y=f(x)=在点P(8,4)处的切线垂直,且过点(4,8)的直线方程。 解　因为y=,所以f'(x)=()'=()'=。所以f'(8)=×=,即曲线在点P(8,4)处的切线的斜率为。所以适合条件的直线的斜率为-3。从而适合条件的直线方程为y-8=-3(x-4),即3x+y-20=0。 12.已知点P,a在曲线y=cos x上,直线l是以点P为切点的切线。 (1)求a的值; (2)求过点P且与直线l垂直的直线方程。 解　(1)因为P,a在曲线y=cos x上,所以a=cos=。 (2)因为y'=-sin x,所以kl=-sin=-。又因为所求直线与直线l垂直,所以所求直线的斜率为-=,所以所求直线方程为y-=x-,即y=x-+。 素养提升 13.设f0(x)=sin x,f1(x)=f'0(x),f2(x)=f'1(x),…,fn+1(x)=f'n(x),n∈N,则f2 023(x)= (D) A.sin x B.-sin x C.cos x D.-cos x 解析　由题意知,f1(x)=cos x,f2(x)=-sin x,f3(x)=-cos x,f4(x)=sin x,…,周期为4,所以f2 023(x)=-cos x。 14.设直线l1与曲线y=相切于点P,直线l2过点P且垂直于l1,若l2交x轴于点Q,又作PK垂直于x轴于点K,求线段KQ的长。 解　设P(x0,y0),点Q,K的横坐标分别为xQ,xK,则直线l1的斜率=,由l2与l1垂直,得直线l2的斜率=-2,于是l2:y-y0=-2(x-x0),则-y0=