课时达标检测(15) 导数及其几何意义-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教B版）

课时达标检测(十五)　导数及其几何意义 学生用书P091 基础达标 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.设函数f(x)可导,则等于 (C) A.f'(1) B.不存在 C.f'(1) D.以上都不对 解析　=×=f'(1)。 2.已知函数y=f(x)的图像在点M(1,f(1))处的切线方程是y=x+2,则f(1)+f'(1)的值等于 (C) A.1 B. C.3 D.0 解析　由导数的几何意义得k=f'(1)=,f(1)=×1+2=。所以f(1)+f'(1)=+=3。 3.若函数f(x)的导函数f'(x)=-ln x,则函数图像在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为 (D) A.0° B.锐角 C.90° D.钝角 解析　由于在点(2,f(2))处的切线斜率k=-ln 2<0,所以倾斜角为钝角。 4.已知函数f(x)的图像如图所示,则下列结论正确的是 (B) A.0<f'(2)<f'(3)<f(3)-f(2) B.0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2) C.0<f'(3)<f'(2)<f(3)-f(2) D.0<f(3)-f(2)<f'(2)<f'(3) 解析　从图像上可以看出函数f(x)的图像在x=2处的切线的斜率比在x=3处的切线的斜率大,且均为正数,所以0<f'(3)<f'(2),过此两点的割线的斜率比函数f(x)的图像在x=2处的切线的斜率小,比函数f(x)的图像在x=3处的切线的斜率大,所以0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2)。故选B。 5.曲线y=x3在点(1,1)处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为 (C) A. B. C. D. 解析　根据导数定义可求得f'(1)=3,故在点(1,1)处切线的斜率为3,切线方程为3x-y-2=0,与x轴的交点坐标为,0,与直线x=2的交点坐标为(2,4),围成三角形面积为×2-×4=。 6.某物体做直线运动,其运动方程是s(t)=t2+(t的单位:s,s的单位:m),则该物体在t=4 s时的瞬时速度为 (B) A. m/s B. m/s C.8 m/s D. m/s 解析　因为===Δt+8-,所以=8-=。故选B。 二、多项选择题 7.下列说法不正确的是 (ABD) A.若f'(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处就没有切线 B.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线,则f'(x0)必存在 C.若f'(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率不存在 D.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率不存在,则曲线在该点处就没有切线 解析　根据导数的几何意义可知,曲线在某点处的切线斜率为该点的导数,因此C正确。故选ABD。 8.已知曲线y=在点P (1,4)处的切线与直线l平行且距离为,则直线l的方程为 (CD) A.4x-y+9=0 B.4x-y+25=0 C.4x+y+9=0 D.4x+y-25=0 解析　f'(1)==-4,所以k=-4,所以切线方程为y-4=-4(x-1),即4x+y-8=0,设l:4x+y+c=0,由题意得=,所以c=9或c=-25。故选CD。 三、填空题 9.若曲线y=2x2-4x+p与y=1相切,则p= 3 。  解析　由题意得k== =4x-4=0,解得x=1,所以切点为(1,1),所以2-4+p=1,所以p=3。 10.过曲线f(x)=x3上两点P(2,8)和Q(2+Δx,8+Δy)作曲线的割线,则当Δx=0.1时割线的斜率为 12.61 。  解析　因为Δy=f(2+Δx)-f(2)=(2+Δx)3-8=(Δx)3+6(Δx)2+12Δx,所以割线PQ的斜率k===(Δx)2+6Δx+12。设Δx=0.1时割线的斜率为k1,则k1=0.12+6×0.1+12=12.61。 11.曲线y=x2-2在点1,-处的切线的倾斜角为  ,切线方程为 2x-2y-5=0 。  解析　利用导数的定义可求得曲线在点1,-处切线的斜率为1,所以倾斜角为。切线方程为y+=x-1,即2x-2y-5=0。 四、解答题 12.已知抛物线y=2x2+1分别满足下列条件,求出切点的坐标。 (1)切线的倾斜角为45°; (2)切线平行于直线4x-y-2=0; (3)切线垂直于直线x+8y-3=0。 解　设切点坐标为(x0,y0),则Δy=2(x0+Δx)2+1-2-1=4x0·Δx+2(Δx)2,所以=4x0+2Δx,当Δx→0时,→4x0,即f'(x0)=4x0。 (1)因为抛物线的切线的倾斜角为45°,所以斜率为tan 45°=1,即f'(x0)=4x0=1,解得x0=,所以切点坐标为,。 (2)因为抛物线的切线平行于直线4x-y-2=0