6.1.2 导数及其几何意义-【新课程能力培养】2026-2027学年高中数学选择性必修第三册学习手册（人教B版）

因此，x与t的关系可近似地表示为x-0.25=5(t-0.1).在 上式中令t=0.2,可求得x=0.75,即物体的位移可以估计 为0.75m 变式训练3大于【解析】在[a,b]这段时间内，f(x) 图象割线斜率的绝对值比g(x)图象割线斜率的绝对值 大，.甲的心率变化大于乙的心率变化 数学文化 例解：从A处到B处高度的平均变化率为Ay=10-0 △x150-0 =5,从B处到C处高度的平均变化率为=50 4x270-50 子，由子>行，知山路从B处到C处比从A处到B处 陡峭.故从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C 处会感觉比较吃力， 6.1.2导数及其几何意义 要点精析 例1D【解析】lim f(o+3m)-fxo) 20 =3lim f(xo+3m)-f(xo) 3m0 3m =3f'(xo) =9. 变式训练1(1)B【解析】△x=(xo+h)-(-h)=2h. m)-h)-m(th)f(xuh)) h 2h 选B. (2)解：△y=f(1+△x)-f(1)=3(1+△x)2-3=6△x+ 3(4x)只，y=6+3A, △x ÷f')-四=四(6+3ax)-6 例2B【解析】k=-lim+Ax）fo）=im(6xo+3Ax+ △x 6)=6x0+6,.6x+6=0,得x0=-1,yo=f(x0)=f(-1)=3× (-1)2+6×(-1)+1=-2,.点P的坐标为(-1，-2).故 选B 变式训练2A【解析】函数y=f(x)的图象在点P处的 切线方程是)=写46,5)-号，f(5)=分5) f'(5)=4.故选A. 参考答案。 变式训练3B【解析】f3)-f2)=3)2).由图，可 3-2 知f(3)<3)2)”(2),即f"(3)<3)f2)f"(2. 3-2 123 变式训练3答图 例3解：显然点P(1,2)在曲线上，根据导数的 几何意义，可知切线的斜率为k=imf1+△x)-f1)= △x0 △x 1im1+△x)241-(12+1)=im(Ae)+2△x=im(4x+2)=2. 40△x 4-0△x Ax-0 故切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x. 变式训练4解：(1)由题意，得直线过点(4,0)， 045.切线方程为)6a4.即)=名+号 2南0.年2=-号×24号-？/2=g, 2w2-g 数学文化 例ABD【解析】由fx)=x3-x+1,得f-1)>0,f(-2)<0, 即f(-1)(-2)<0,根据函数零点的存在性定理，可得 r∈(-2，-1)，故A正确；又由'(x)=3x2-1,设切点 P(x,x-x+1),则切线的斜率为k=f'(xn)=3x-1,.切 线方程为y-x+x+l=(3x-1)(x-xn),令y=0,可得xn= +,放D正确：当=时，可得 3x-1 =子，则小=名，2=空，山的方程为 +号-学+2引.即23-4+31=0，故B正确：由 子可得站得得此时 k-水k日，故C错误故选ABD 6.1.3基本初等函数的导数 要点精析 例1解：(1)根据定义，可知 35第六章导数及其应用。 6.1.2导数及其几何意义 学习目标 例1 已知f'(x=3,则1 im ot3m)-上fxo m→0 m ) 1.理解瞬时变化率、导数的概念。 2.理解导数的几何意义 A号 B.1 C.3 D.9 3.会用导数的定义及几何意义求曲线在 分析利用瞬时变化率的定义，配凑 某点处的切线方程. 出形式即可得到答案。 要点精析 川要点1瞬时变化率与导数 一般地，设函数y=∫(x)在xo附近有定 义，自变量在x=xo处的改变量为△x,当△x 无限接近于0时，若平均变化率Af △x fx+△x)-fxo无限接近于一个常数k,那么 △x 称常数k为函数f(x)在x=xo处的瞬时变化 B变式训练① 率.此时，也称f(x)在xo处可导，并称k (1)若函数y=f(x)在x=o处可导，则 为f(x)在x=xo处的导数，记作f'(xo)=k.为了 lim f(xoth)-f(xo-h)=() 简单起见，“当△x无限接近于0时， fxo+△x)-fxo）无限接近于常数k”也常用 A.f'(xo) B.2f'(xo) △x C.-2f'(xo) D.0 符号“→”（读作“趋向于”）表示为当 (2)求函数y=3x2在x=1处的导数. △x0时，+x)=fok,或者写成 △x lim A)-fxo）-k, 4x0 △x 即f'(axo)=-lim (o△x)-fo) △x 思考瞬时变化率与平均变化率的区 别是什么？瞬时变化率是否一定存在？ 学(43 高中数学选择性必修第三册人教B版 反思感悟 A.4 B.3 求函数y=(x)在点o处的导数的步骤： D. 求因变量的改变量 △ff(xo+△x)f(xo) 求函数的平均 △f_f(xo+△x)-fxo) D变式训练3 变化率 △x △x 已知函数f(x)的图象如 取极限，得导数 f(xo)=lim Af 图所示，下列数值的排序正 40△x 确的是( =-limfo+△x)-fxo) 0123x △x→0 △x A.f'(2)<f'(3)<f(3)-f2)》 B.f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2) 图6-1-6 川要点2导数的几何意义 C.f'(3)<f'(2)<f3)-f2) 函数y=f(x)在点x处的导数的几何意 D.f3)-f2)<f'(2)<f(3) 反思感悟 义：f'(xo)就是曲线y=f(x)在点(xo,f(xo)》 处（也称在x=xo处）的切线的斜率 根据导数的几何意义可知，∫'(x0)能反 思考导数的几何意义体现了什么数 映曲线f(x)在x=o处的升降及变化快慢情 学思想？ 况.若f'(x)>0,则曲线在该点处上升；若 例2已知点P(xo,y0)是抛物线f(x)= f'(xo)<0,则曲线在该点处下降 3x2+6x+1上一点，且在点P处的切线斜率为 川要点3求函数在某点的切线斜率及方程· 0,则点P的坐标为() 曲线的切线斜率： A.(1,10) B.(-1,-2) C.(1,-2) D.(-1,10) (1)设P(xo,f(xo)),P(x,f(x)是曲 分析根据导数的几何意义，求f(x) 线y=f(x)上任意不同两点，则平均变化率 的导数，令其为0，解方程得到P点的坐标. fx)-fxo)=fx+△x)=fxo）为割线PP的 x-x0 △x 变式训练② 斜率」 (2)当P点逐渐靠近P点，即△x 如图，函数y=f(x)的图象在点P处的切 逐渐变小，当△x→0时，瞬时变化率 线方程是)=写46，则5f(5)=（） lim△x)-fol就是yx)在o处的切线 △0 △ 的斜率，即k=lim f+△x)-f(xo) 4x+0 △x 思考曲线在A点处的切线与过A点 处的切线是一样的吗？ 图6-1-5 (44)学 第六章导数及其应用。 例3求曲线f(x)=x2+1在点P(1,2) 反思感悟 处的切线的斜率，并求出切线方程 解决曲线y=f(x)上点P(x,yo)处的切 分析对代x)求导，利用导数的几何意 线方程的基本步骤： 义求出切线的斜率，由点斜式得到直线方程 (1)若切点为P(xo,yo),则yof(xo), 切线斜率k=f'(xo) (2)由hmk,得方程(xo)=fx） X1一X0 (3)化简上述方程，得切线方程y-yo h(x-xo). 数学文化 例 (多选题)牛顿在《流数法》一书 中，给出了高次代数方程根的一种解法.具 体步骤如下：设r是函数y=f(x)的一个零 变式训练④ 点，任意选取x作为r的初始近似值，过点 下图为函数y=f(x)及其在点P处切线的 (xo,f(xo)作曲线yf代x)的切线l1,设L,与x 图象 轴交点的横坐标为x1,并称x1为r的1次近 (1)求切线方程. 似值；过点(x1,f(x)作曲线y=f(x)的切 (2)求f2)+f'(2). 线12，设12与x轴交点的横坐标为2，称x2 为r的2次近似值.一般地，过点(x, 4.5 f(xn))(n∈N)作曲线y=f(x)的切线ln1, 记ln+1与x轴交点的横坐标为xn+,并称xn+ f(x) 为r的n+1次近似值.对于方程x3-x+1=0, 4 02 记方程的根为r,取初始近似值为xo-1,下 图6-1-7 列说法正确的有() A.r∈(-2，-1) B.切线l223x-4y+31=0 C砂日 2x-1 D.x+1F3x2-1 学(45