课时达标检测(12) 数学归纳法-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教B版）

课时达标检测(十二)　数学归纳法 学生用书P085 基础达标 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、单项选择题 1.满足1×2+2×3+3×4+…+n×(n+1)=3n2-3n+2的自然数n= (C) A.1 B.1或2 C.1,2,3 D.1,2,3,4 解析　当n=1,2,3时满足,当n=4时,左边=1×2+2×3+3×4+4×5=40,右边=3×42-3×4+2=38。所以左边>右边,即n=4不满足,又由数学归纳法可证明n≥4时,原等式都不成立。 2.一个与正整数n有关的命题,当n=2时命题成立,且由n=k时命题成立可以推得n=k+2时命题也成立,则 (B) A.该命题对于n>2的自然数n都成立 B.该命题对于所有的正偶数都成立 C.该命题何时成立与k取值无关 D.以上答案都不对 解析　由n=k时命题成立可以推得n=k+2时命题也成立,且n=2时命题成立,故对所有的正偶数都成立。 3.若f(n)=1+++…+(n∈N+),则n=1时f(n)= (C) A.1 B. C.1++ D.以上答案均不正确 4.在数列{an}中,a1=,且Sn=n(2n-1)an,通过求a2,a3,a4,猜想an的表达式为 (C) A. B. C. D. 解析　当n=2时,+a2=(2×3)a2,所以a2=。当n=3时,++a3=(3×5)a3,所以a3=。故猜想an=。 5.用数学归纳法证明等式(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·3·…·(2n-1)(n∈N+)的过程中,从n=k到n=k+1左端需要增乘的代数式为 (C) A.2k+1 B. C.2(2k+1) D. 解析　当n=k+1时,左端为(k+2)(k+3)…[(k+1)+(k-1)]·[(k+1)+k]·(2k+2)=(k+1)(k+2)…(k+k)(2k+1)·2,所以应增乘2(2k+1)。 6.用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=,则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上 (D) A.k2+1 B.(k+1)2 C. D.(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2 解析　等式左边是从1开始的连续自然数的和,直到n2。故n=k+1时,最后一项是(k+1)2,而n=k时,最后一项是k2,应加上(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2。 二、多项选择题 7.已知f(n)=+++…+,则 (AD) A.f(n)共有n2-n+1项, B.f(n)共有n+1项, C.当n=2时,f(2)=+ D.当n=2时,f(2)=++ 解析　结合f(n)中各项的特征可知,分子均为1,分母为n,n+1,…,n2的连续自然数共有n2-n+1个,且f(2)=++。 8.对于不等式≤n+1(n∈N+),某学生的证明过程如下: (1)当n=1时,≤1+1,不等式成立; (2)假设当n=k(k∈N+)时,不等式成立,即≤k+1,则当n=k+1时,=<==(k+1)+1,所以当n=k+1时,不等式成立。 上述证法 (BD) A.过程全都正确 B.n=1验证正确 C.归纳假设不正确 D.从n=k到n=k+1的推理不正确 解析　n=1的验证及归纳假设都正确,但从n=k到n=k+1的推理中没有使用归纳假设,而是通过不等式的放缩法直接证明,这不符合数学归纳法的证题要求。故选BD。 三、填空题 9.记凸k边形的内角和为f(k),则凸k+1边形的内角和f(k+1)=f(k)+ π 。  解析　由凸k边形变为凸k+1边形时,增加了一个三角形,故f(k+1)=f(k)+π。 10.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn=n2an(n∈N+)。依次计算出S1,S2,S3,S4后,可猜想Sn的表达式为 Sn= 。  解析　S1=1,S2=,S3==,S4=,猜想Sn=。 11.已知f(n)=1+++…+,n∈N+,用数学归纳法证明f(2n)>时,f(2n+1)-f(2n)= ++…+ 。  四、解答题 12.用数学归纳法证明:对于任意正整数n,(n2-1)+2(n2-22)+…+n(n2-n2)=。 证明　(1)当n=1时,左边=12-1=0,右边==0,所以等式成立。 (2)假设当n=k(k∈N+)时等式成立,即(k2-1)+2(k2-22)+…+k(k2-k2)=。那么当n=k+1时,有[(k+1)2-1]+2[(k+1)2-22]+…+k·[(k+1)2-k2]+(k+1)[(k+1)2-(k+1)2]=(k2-1)+2(k2-22)+…+k(k2-k2)+(2k+1)(1+2+…+k)=+(2k+1)=k(k+1)[k(k-1)+2(2k+1)]=k(k+1)(k2+3k+2)=。所以当n=k+1时等式成立。由(1)(2)知,对任意n∈N+等式成立。 1